Mit dem Rad zum Schwimmbad
AFB I–IILina fährt mit dem Rad zum Schwimmbad. Zuerst rollt sie 4 km in 12 min bis zur Ampelkreuzung. Dort muss sie 3 min warten. Anschließend fährt sie die restlichen 8 km in 15 min bis zum Eingang.
- Bestimmen Sie die gesamte Strecke und die gesamte Zeit von Linas Fahrt.
- Berechnen Sie Linas Durchschnittsgeschwindigkeit in Kilometern pro Stunde.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: Teilstrecken und Teilzeiten getrennt addieren.
Gesamtstrecke: \(s = 4\ \text{km} + 8\ \text{km} = 12\ \text{km}\).
Gesamtzeit: \(t = 12\ \text{min} + 3\ \text{min} + 15\ \text{min} = 30\ \text{min} = 0{,}5\ \text{h}\).
Antwort: Lina legt insgesamt 12 km zurück und ist dafür 30 min, also 0,5 h, unterwegs. Die Wartezeit an der Ampel zählt zur Gesamtzeit, weil in ihr Zeit vergeht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(v = \frac{s}{t}\).
Rechnung: \(v = \frac{12\ \text{km}}{0{,}5\ \text{h}} = 24\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Antwort: Linas Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 24 km/h. Ohne die Wartezeit käme man auf rund 26,7 km/h — dieser Wert wäre zu groß, weil er die tatsächlich vergangene Zeit unterschlägt.
Zwei Wege zur Arbeit
AFB II–IIIHerr Bergmann hat zwei Möglichkeiten, zur Arbeit zu fahren. Weg A führt über die Autobahn: zuerst 6 km durch die Stadt, wofür er 15 min braucht, danach 60 km auf der Autobahn in 45 min. Weg B führt über die Landstraße: 40 km ohne Halt, wofür er 48 min braucht. Ein Kollege behauptet: „Auf der Autobahn fährst du 80 km/h statt 50 km/h — mit Weg A bist du also schneller bei der Arbeit.“
- Vergleichen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeiten von Weg A und Weg B.
- Interpretieren Sie, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit von Weg A kleiner ausfällt als die Geschwindigkeit, die Herr Bergmann auf dem Autobahnabschnitt erreicht.
- Nehmen Sie Stellung zu der Behauptung des Kollegen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kriterium des Vergleichs: die Durchschnittsgeschwindigkeit des gesamten Weges.
Weg A: \(s_A = 6\ \text{km} + 60\ \text{km} = 66\ \text{km}\), \(t_A = 15\ \text{min} + 45\ \text{min} = 60\ \text{min} = 1\ \text{h}\), also \(v_A = \frac{66\ \text{km}}{1\ \text{h}} = 66\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Weg B: \(s_B = 40\ \text{km}\), \(t_B = 48\ \text{min} = 0{,}8\ \text{h}\), also \(v_B = \frac{40\ \text{km}}{0{,}8\ \text{h}} = 50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Antwort: Beide Wege werden nach derselben Vorschrift berechnet, unterscheiden sich aber im Ergebnis: Weg A hat mit 66 km/h eine um 16 km/h größere Durchschnittsgeschwindigkeit als Weg B mit 50 km/h.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Auf dem Autobahnabschnitt allein gilt \(v = \frac{60\ \text{km}}{0{,}75\ \text{h}} = 80\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\). In die Durchschnittsgeschwindigkeit von Weg A gehen zusätzlich die 6 km Stadtverkehr und die dafür nötigen 15 min ein; dieser Abschnitt allein entspricht nur 24 km/h.
Bedeutung: In dieser Viertelstunde wächst die Gesamtzeit stärker, als die Gesamtstrecke zunimmt. Der Quotient sinkt deshalb von 80 km/h auf 66 km/h. Allgemein liegt die Durchschnittsgeschwindigkeit immer zwischen dem langsamsten und dem schnellsten Abschnitt einer Fahrt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist nicht haltbar. Richtig ist zwar, dass Herr Bergmann auf der Autobahn schneller fährt und dass Weg A mit 66 km/h die größere Durchschnittsgeschwindigkeit hat. Für die Frage „schneller bei der Arbeit“ ist aber die benötigte Zeit entscheidend: Weg A dauert 60 min, Weg B nur 48 min. Weg B ist also trotz kleinerer Durchschnittsgeschwindigkeit der schnellere Weg, weil er mit 40 km statt 66 km deutlich kürzer ist.
Eigene Position: Eine größere Durchschnittsgeschwindigkeit bedeutet nur bei gleicher Strecke auch eine kürzere Fahrzeit. Herr Bergmann sollte Weg B nehmen.
Als vollständige Antwort gilt: beide Fahrzeiten nennen, den Unterschied auf die verschiedenen Streckenlängen zurückführen und daraus ein begründetes Urteil ableiten.