MINT lernen
Start›Physik›Klasse 11›Kreisbewegungen›Winkelgeschwindigkeit›Textaufgaben

Textaufgaben: Winkelgeschwindigkeit

Zwei Sachaufgaben aus der Tontechnik — die Schallplatte mit 45 Umdrehungen pro Minute und das Tonband mit seinen zwei Spulen.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungFormeln und Rechenbeispiele noch einmal nachlesen.
Fortschritt
0 / 0 Aufgaben

Sachaufgaben

Die Aufgaben sind wie im Abitur aufgebaut: Sachtext, Material und mehrere Teilaufgaben. Die unterstrichenen Operatoren sagen dir, was genau verlangt ist — fahre mit der Maus darüber oder springe mit Tab darauf. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont. Öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die Schallplatte

AFB II

Früher hat man Musik auf Schallplatten aufgezeichnet, die sich mit 45 Umdrehungen pro Minute drehen lassen. Der Tonabnehmer steht beim ersten Song im Abstand \(r_1 = 14{,}5\,\mathrm{cm}\) von der Drehachse, beim letzten Song im Abstand \(r_2 = 6{,}5\,\mathrm{cm}\) (Material M1).

M1Schallplatte mit Tonabnehmer
erster Song: r₁ = 14,5 cm letzter Song: r₂ = 6,5 cm 45 Umdrehungen pro Minute

Der Tonabnehmer wandert während des Abspielens von außen nach innen — die Drehzahl der Platte bleibt dabei konstant.

  1. Berechne die Umlaufzeit \(T\), die Frequenz \(f\) und die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\).
  2. Bestimme die Bahngeschwindigkeit des Tonabnehmers beim ersten Song und beim letzten Song.
  3. Begründe, wo sich der Tonabnehmer nach der Hälfte der Spielzeit ungefähr befindet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Beginne mit der Frequenz: 45 Umdrehungen pro Minute sind 45 Umdrehungen pro \(60\,\mathrm{s}\). Aus \(f\) bekommst du \(T = \dfrac{1}{f}\) und \(\omega = 2\pi f\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Platte dreht sich als Ganzes — \(\omega\) ist für beide Songs gleich. Nur der Radius unterscheidet sich. Nutze \(v = \omega\cdot r\) mit \(r\) in Metern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne zuerst die Mitte zwischen den beiden Radien aus. Überlege dann mit \(v = \omega\cdot r\), auf welchen Rillen der Tonabnehmer pro Umdrehung mehr Weg zurücklegt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f = \dfrac{45}{\mathrm{min}} = \dfrac{45}{60\,\mathrm{s}} = \mathbf{0{,}75\,\mathrm{Hz}}\)

\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{0{,}75\,\mathrm{Hz}} = \dfrac{4}{3}\,\mathrm{s} \approx \mathbf{1{,}33\,\mathrm{s}}\)

\(\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 0{,}75\,\mathrm{Hz} \approx \mathbf{4{,}71\,\mathrm{s^{-1}}}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

erster Song: \(v_1 = \omega\cdot r_1 = 4{,}71\cdot 0{,}145\,\mathrm{m} = \mathbf{0{,}68\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

letzter Song: \(v_2 = \omega\cdot r_2 = 4{,}71\cdot 0{,}065\,\mathrm{m} = \mathbf{0{,}31\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Obwohl sich die Platte immer gleich schnell dreht, ist die Nadel außen mehr als doppelt so schnell unterwegs wie innen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Mitte zwischen den beiden Radien liegt bei \(\dfrac{14{,}5\,\mathrm{cm} + 6{,}5\,\mathrm{cm}}{2} = 10{,}5\,\mathrm{cm}\).

Der Tonabnehmer befindet sich nach der Hälfte der Spielzeit jedoch weiter entfernt als \(10{,}5\,\mathrm{cm}\) vom Mittelpunkt.

Begründung: Außen ist die Bahngeschwindigkeit größer (\(0{,}68\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) gegenüber \(0{,}31\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)). Pro Umdrehung wird dort also eine deutlich längere Rille abgetastet als innen. Die äußeren Rillen tragen damit mehr Musik pro Umdrehung — die Nadel hat nach der halben Spielzeit noch nicht die Hälfte des Weges nach innen zurückgelegt.

2

Das Tonband

AFB III

Beim Tonband wird das Band mit einer Geschwindigkeit von \(v = 19\,\mathrm{\frac{cm}{s}}\) am Tonkopf vorbeibewegt. Die volle Spule hat den Radius \(r_1 = 5{,}5\,\mathrm{cm}\), die leere Spule den Radius \(r_2 = 2{,}2\,\mathrm{cm}\). Das Band ist \(540\,\mathrm{m}\) lang (Material M2).

M2Tonband mit voller und leerer Spule
volle Spule r₁ = 5,5 cm leere Spule r₂ = 2,2 cm Tonkopf v = 19 cm s

Das Band läuft überall mit derselben Geschwindigkeit — die beiden Spulen haben aber sehr unterschiedliche Radien.

  1. Begründe, warum sich die volle Spule langsamer drehen muss als die leere Spule.
  2. Berechne die Winkelgeschwindigkeit und die Umdrehungszeiten für die volle und für die leere Spule.
  3. Bestimme die Dauer der Spielzeit.
Hinweis zu Aufgabe a)
Am Tonkopf hat das Band überall dieselbe Geschwindigkeit \(v\). Schau dir \(v = \omega\cdot r\) an: Was muss mit \(\omega\) passieren, wenn \(r\) größer wird und \(v\) gleich bleibt?
Hinweis zu Aufgabe b)
Stelle \(v = \omega\cdot r\) nach \(\omega\) um: \(\omega = \dfrac{v}{r}\). Für die Umlaufdauer nutzt du anschließend \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\), also \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Hier reicht die einfache Bewegungsgleichung \(s = v\cdot t\). Die Bandlänge ist die Strecke, die am Tonkopf vorbeiläuft.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Am Tonkopf ist die Bandgeschwindigkeit \(v\) konstant. Es gilt \(v = \omega\cdot r\), umgestellt \(\omega = \dfrac{v}{r}\).

Die volle Spule hat den größeren Radius. Bei gleichem \(v\) gehört zu einem größeren \(r\) ein kleineres \(\omega\) — die volle Spule dreht sich also langsamer.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v = 19\,\mathrm{\frac{cm}{s}} = 0{,}19\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) · \(r_1 = 0{,}055\,\mathrm{m}\) · \(r_2 = 0{,}022\,\mathrm{m}\)

\(v = \omega\cdot r \quad |\;:r \quad\Longrightarrow\quad \omega = \dfrac{v}{r}\)

volle Spule: \(\omega_1 = \dfrac{0{,}19}{0{,}055} = \mathbf{3{,}45\,\mathrm{s^{-1}}}\)

leere Spule: \(\omega_2 = \dfrac{0{,}19}{0{,}022} = \mathbf{8{,}64\,\mathrm{s^{-1}}}\)

\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} \quad\Longrightarrow\quad T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)

\(T_1 = \dfrac{2\pi}{3{,}45\,\mathrm{s^{-1}}} = \mathbf{1{,}82\,\mathrm{s}}\)

\(T_2 = \dfrac{2\pi}{8{,}64\,\mathrm{s^{-1}}} = \mathbf{0{,}73\,\mathrm{s}}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(s = v\cdot t \quad |\;:v \quad\Longrightarrow\quad t = \dfrac{s}{v}\)

\(t = \dfrac{540\,\mathrm{m}}{0{,}19\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 2842\,\mathrm{s} \approx \mathbf{47{,}37\,\mathrm{min}}\)

Weiterlernen3.2.1 Zentripetal- und ZentrifugalkraftWarum ein Körper überhaupt auf der Kreisbahn bleibt.