Aufgabenblock — AFB III
Hier geht es nicht mehr ums bloße Einsetzen — du sollst begründen, rückwärts arbeiten und Strukturen erkennen. Manche Aufgaben haben keine fertige Zahl als Lösung, sondern verlangen einen Begründungssatz. Bei diesen Aufgaben gilt: erst selbst denken, dann die Musterlösung öffnen — das Aufklappen zählt als erledigt.
Begründe in 3–4 Sätzen, warum ein Auto, das im Kreisverkehr immer schneller wird, keine gleichförmige Kreisbewegung ausführt — obwohl sein Radius die ganze Zeit konstant bleibt.
Hinweis: Schau dir die Definition genau an. Wie viele Bedingungen enthält sie?
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Musterlösung: Eine gleichförmige Kreisbewegung liegt vor, wenn sich ein Körper auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit und mit konstantem Radius bewegt. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. Das Auto im Kreisverkehr erfüllt nur die zweite: Sein Abstand vom Mittelpunkt bleibt gleich, sein Tempo aber nicht. Damit ist die Bewegung zwar eine Kreisbewegung, aber keine gleichförmige. Umgekehrt reicht „konstante Geschwindigkeit“ allein genauso wenig — ein Auto auf gerader Strecke fährt konstant schnell und bewegt sich trotzdem nicht im Kreis.
Ein Körper bewegt sich mit v = 2,36 m/s auf einer Kreisbahn mit r = 1,5 m.
a) Berechne die Winkelgeschwindigkeit ω. b) Berechne daraus die Umlaufdauer T. (Zwei Nachkommastellen.)
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Gegeben: v = 2,36 m/s, r = 1,5 m
a) ω = v / r = 2,36 / 1,5 = 1,57 1/s
b) ω = 2π / T ⟹ T = 2π / ω = 2π / 1,57 = 4,0 s
Probe über die Bahngeschwindigkeit: v = 2πr / T = 2π · 1,5 / 4,0 = 2,36 m/s ✓
Zeige in 2–3 Sätzen, dass aus v = 2πr / T und ω = 2π / T unmittelbar v = ω · r folgt. Benenne dabei den Baustein, den beide Formeln gemeinsam haben.
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Musterlösung: In beiden Formeln steckt derselbe Baustein 2π / T. Schreibt man die Bahngeschwindigkeit als v = 2πr / T = (2π / T) · r, so steht in der Klammer genau die Winkelgeschwindigkeit ω. Ersetzt man die Klammer durch ω, bleibt v = ω · r übrig. Neue Physik steckt in dieser Umformung nicht — sie zeigt nur, dass Bahn- und Winkelgeschwindigkeit dieselbe Bewegung aus zwei Blickrichtungen beschreiben.
Ein Körper läuft auf einem Kreis mit Radius r und Umlaufdauer T. Nun wird nur der Radius verdoppelt, die Umlaufdauer bleibt gleich.
Um welchen Faktor ändert sich die Zentripetalbeschleunigung aZ? Trage den Faktor als Zahl ein und begründe ihn anschließend.
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ω: unverändert — in ω = 2π / T kommt kein Radius vor.
v: vneu = 2π · (2r) / T = 2 · (2πr / T) = 2v — die Bahngeschwindigkeit verdoppelt sich.
aZ: aneu = (2v)² / (2r) = 4v² / (2r) = 2 · v² / r = 2 · aZ
Der Faktor ist also 2, nicht 4 — weil sich zwar v verdoppelt (quadratisch: Faktor 4), gleichzeitig aber auch der Nenner r doppelt so groß wird.
Ein Körper durchfährt eine Kurve mit festem Radius r. Seine Bahngeschwindigkeit wird verdoppelt.
Um welchen Faktor wächst die nötige Zentripetalkraft FZ? Trage den Faktor ein und begründe.
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Musterlösung: FZ = m · v² / r. Mit der doppelten Geschwindigkeit ergibt sich Fneu = m · (2v)² / r = m · 4v² / r = 4 · FZ.
Die Kraft wächst also nicht doppelt, sondern vierfach, weil v quadratisch eingeht. Genau deshalb werden Kurven bei hoher Geschwindigkeit so schnell kritisch: Die Straße muss viermal so viel Kraft aufbringen, obwohl das Tempo nur doppelt so hoch ist.
Auf ein Kind der Masse m = 40 kg wirkt auf einem Karussell mit r = 2,6 m die Zentripetalkraft FZ = 164,5 N.
Berechne die Bahngeschwindigkeit v (zwei Nachkommastellen).
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Formel: FZ = m · v² / r
Umstellen: v² = FZ · r / m = 164,5 N · 2,6 m / 40 kg = 10,69 (m/s)²
Wurzel: v = 3,27 m/s
Probe: aZ = v² / r = 10,69 / 2,6 = 4,11 m/s², und 40 kg · 4,11 m/s² = 164,5 N ✓
Ein Ball wird in einem Netz vertikal im Uhrzeigersinn im Kreis geschleudert. An welcher Stelle der Bahn muss das Netz losgelassen werden, damit sich Ball und Netz danach nach oben weiterbewegen?
Antworte mit einem Wort: oben, rechts, unten oder links.
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Antwort: links. Beim Drehsinn im Uhrzeigersinn bewegt sich der Ball am linken Bahnpunkt gerade senkrecht nach oben. Da er nach dem Loslassen tangential — also in Richtung seiner momentanen Geschwindigkeit — weiterfliegt, muss dort losgelassen werden.
Der häufigste Fehler ist die Annahme, der Ball fliege radial vom Mittelpunkt weg. Das wäre nur richtig, wenn ihn eine nach außen gerichtete Kraft wegschieben würde — die gibt es aber nicht: Die Zentrifugalkraft ist eine Folge der Trägheit, keine Ursache der Flugbahn.
Die Winkelgeschwindigkeit misst einen Winkel pro Zeit. Trotzdem lautet ihre Einheit nur 1/s und nicht etwa „rad pro Sekunde als eigene Einheit“.
Erkläre in 2–3 Sätzen, warum das Bogenmaß in der Einheit verschwindet.
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Musterlösung: Das Bogenmaß gibt die Länge des Kreisbogens an, gemessen in Radien — es ist also ein Verhältnis von zwei Längen. Dabei kürzen sich die Längeneinheiten gegenseitig weg, übrig bleibt eine reine Zahl ohne Einheit. In ω = 2π / T steht deshalb im Zähler eine reine Zahl und im Nenner die Zeit, sodass als Einheit nur [ω] = 1/s übrig bleibt.
Genau deshalb rechnet man bei Kreisbewegungen im Bogenmaß und nicht in Grad: 360 ist eine willkürliche Zahl aus der babylonischen Astronomie, 2π dagegen ist der Umfang des Einheitskreises.
Die Herleitung von aZ = v² / r stützt sich auf zwei ähnliche Dreiecke und auf Δs / Δt = v.
Beurteile in 3–4 Sätzen: An welcher Stelle wird dabei genähert, und unter welcher Bedingung ist die Herleitung trotzdem exakt?
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Musterlösung: Im Ortsdreieck ist Δs die geradlinige Verbindung zwischen den beiden Positionen — also die Sehne. Der Körper bewegt sich jedoch auf dem Bogen der Kreisbahn, der etwas länger ist. Wenn man im Schritt Δs / Δt = v die Sehne wie den zurückgelegten Weg behandelt, steckt genau dort die Näherung.
Für sehr kleine Zeitabschnitte Δt wird der betrachtete Bahnabschnitt beliebig kurz, und Sehne und Bogen fallen zusammen. Im Grenzfall Δt → 0 ist die Herleitung damit exakt. Die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke gilt dagegen für jeden Winkel α exakt — sie ist keine Näherung.
Suche dir eine Kreisbewegung aus deinem Alltag (Fahrradreifen, Wäscheschleuder, Riesenrad, Ventilator, Karussell …).
Schätze oder miss Radius und Umlaufdauer und berechne damit alle vier Größen T, f, v und ω. Beurteile anschließend, welche der vier Größen sich ändern würde, wenn du denselben Körper auf halbem Radius betrachtest.
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Beispielrechnung (Ventilator): gemessen r = 0,20 m und T = 0,050 s.
f = 1 / T = 20 Hz · ω = 2π / T = 126 1/s · v = ω · r = 126 · 0,20 m = 25 m/s
Beurteilung: Auf halbem Radius (r = 0,10 m) bleiben T, f und ω unverändert — in ihren Formeln kommt kein Radius vor. Allein die Bahngeschwindigkeit halbiert sich auf v = 12,6 m/s. Genau das ist der Unterschied zwischen Winkel- und Bahngeschwindigkeit: Der ganze Körper dreht sich gleich schnell, aber weiter außen wird pro Sekunde mehr Weg zurückgelegt.
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III bedeutet: nicht nur rechnen, sondern verstehen, warum. Du hast geübt:
- Definitionen ernst nehmen — „gleichförmig“ verlangt zwei Bedingungen, nicht eine.
- Rückwärtsrechnen — Formeln nach ω, T oder v umstellen; bei v² erst quadratisch isolieren, dann die Wurzel ziehen.
- Strukturen erkennen — der Baustein 2π/T verbindet Bahn- und Winkelgeschwindigkeit zu v = ω · r.
- Skalieren — doppelter Radius verdoppelt v und aZ; doppeltes v vervierfacht FZ.
- Näherungen beurteilen — Sehne statt Bogen, exakt erst im Grenzfall kleiner Δt.
In der Klausur zählt eine saubere Begründung oft genauso viel wie das richtige Ergebnis. Schreibe immer einen Antwortsatz mit Einheit.