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Übung — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus Technik und Alltag — Festplatte, CD, Schallplatte, Tonband, Karussell: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen.
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Aufgabenblock — AFB II

10 Sachaufgaben aus den Unterkapiteln 3.1.1 bis 3.3.2. Jede Aufgabe braucht mehrere Schritte und einen Übersetzungsschritt in die reale Situation: „Umdrehungen pro Minute“ ist noch keine Frequenz, „4,7 cm“ ist noch kein einsetzbarer Radius. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Kreispendel — Umlaufdauer und Frequenz
AFB II

Ein Kreispendel führt 2 Umdrehungen in 3 Sekunden aus.

a) Wie groß ist die Umlaufdauer T? b) Wie groß ist die Frequenz f (zwei Nachkommastellen)?

s
Hz
Ansatz: T ist die Dauer einer Umdrehung — nicht die Dauer aller Umdrehungen. Teile die Zeit auf die Anzahl der Runden auf.
Rechenweg: T = 3 s ÷ 2 = 1,5 s. Danach f = 1 / T = 1 / 1,5 s.
Lösung: a) T = 1,5 s. b) f = 0,67 Hz.
Vollständige Lösung
T = 3 s / 2 = 1,5 s. Damit f = 1 / 1,5 s = 0,67 Hz. Zur Probe: 0,67 Umdrehungen pro Sekunde ergeben in 3 s genau 2 Umdrehungen.
2 Umdrehungen in 3 s
Kreispendel
A2
Festplatte — von U/min zur Bahngeschwindigkeit
AFB II

Die Scheiben einer Festplatte rotieren mit 7200 Umdrehungen pro Minute. Ein Punkt am Rand hat den Abstand r = 4,7 cm von der Drehachse.

a) Berechne die Drehfrequenz f in Hertz. b) Berechne die Bahngeschwindigkeit v dieses Punktes (zwei Nachkommastellen).

Hz
m/s
Ansatz: „Pro Minute“ ist nicht „pro Sekunde“. Teile die Umdrehungen durch 60 s, dann steht die Frequenz in Hz da.
Rechenweg: f = 7200 / 60 s = 120 Hz. Dann v = 2πr · f mit r = 4,7 cm = 0,047 m.
Lösung: a) f = 120 Hz. b) v = 2π · 0,047 m · 120 Hz = 35,44 m/s.
Vollständige Lösung
f = 7200 / 60 s = 120 Hz. Radius umrechnen: 4,7 cm = 0,047 m. v = 2πr · f = 2π · 0,047 m · 120 Hz = 35,44 m/s — das sind rund 128 km/h, allein durch die Drehung der kleinen Scheibe.
r 7200 U/min · r = 4,7 cm
Scheibe von oben
A3
Dieselbe Platte, langsamer
AFB II

Dieselbe Festplatte (r = 4,7 cm) rotiert jetzt nur noch mit 5400 Umdrehungen pro Minute.

a) Wie groß ist die Drehfrequenz? b) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Rand (zwei Nachkommastellen)?

Hz
m/s
Ansatz: Der Radius bleibt gleich, nur f ändert sich. Du kannst neu einsetzen — oder überlegen, in welchem Verhältnis 5400 zu 7200 steht.
Rechenweg: f = 5400 / 60 s = 90 Hz. Verhältnis: 5400 / 7200 = 0,75 — also auch v auf 75 % des alten Wertes.
Lösung: a) 90 Hz. b) v = 2π · 0,047 m · 90 Hz = 26,58 m/s.
Vollständige Lösung
f = 5400 / 60 s = 90 Hz. v = 2π · 0,047 m · 90 Hz = 26,58 m/s. Kontrolle über das Verhältnis: 26,58 / 35,44 = 0,75 — genau wie 5400 / 7200. Bei festem Radius ist v proportional zu f.
7200 U/min 5400 U/min v = 35,44 m/s v = 26,58 m/s gleicher Radius — v ist proportional zu f
75 % der Frequenz, 75 % von v
A4
CD-Laufwerk — innen schneller drehen
AFB II

Bei einfacher Lesegeschwindigkeit ist die Bahngeschwindigkeit einer CD konstant: v = 1,2 m/s. Die innerste Datenspur liegt bei r1 = 2 cm, die äußerste bei r2 = 5,5 cm.

a) Mit welcher Frequenz dreht der Motor beim Lesen der inneren Spur? b) Und beim Lesen der äußeren Spur? (Jeweils zwei Nachkommastellen.)

Hz
Hz
Ansatz: Gesucht ist f, gegeben sind v und r. Stelle v = 2πr · f nach f um.
Rechenweg: f = v / (2πr). Innen: f = 1,2 / (2π · 0,02). Außen: f = 1,2 / (2π · 0,055).
Lösung: a) f1 = 9,55 Hz. b) f2 = 3,47 Hz. Der Motor muss innen deutlich schneller drehen.
Vollständige Lösung
Aus v = 2πr · f folgt f = v / (2πr).
innen: f1 = 1,2 / (2π · 0,02) = 9,55 Hz
außen: f2 = 1,2 / (2π · 0,055) = 3,47 Hz
Damit die Bahngeschwindigkeit gleich bleibt, muss der Motor innen schneller drehen als außen.
r₁ = 2 cm r₂ = 5,5 cm v = 1,2 m/s (konstant)
Datenspuren einer CD
A5
Schallplatte — 45 Umdrehungen pro Minute
AFB II

Eine Schallplatte dreht sich mit 45 Umdrehungen pro Minute.

a) Berechne die Frequenz f. b) Berechne die Winkelgeschwindigkeit ω (zwei Nachkommastellen).

Hz
1/s
Ansatz: 45 Umdrehungen pro Minute sind 45 Umdrehungen pro 60 s. Daraus folgt f, und aus f folgt ω = 2π · f.
Rechenweg: f = 45 / 60 s = 0,75 Hz. ω = 2π · 0,75 Hz.
Lösung: a) f = 0,75 Hz. b) ω = 4,71 1/s. (Zusatz: T = 1 / f = 1,33 s.)
Vollständige Lösung
f = 45 / 60 s = 0,75 Hz
T = 1 / f = 1,33 s
ω = 2π · f = 2π · 0,75 Hz = 4,71 1/s
45 U/min
Plattenteller
A6
Tonabnehmer außen und innen
AFB II

Auf derselben Platte (ω = 4,71 1/s) steht der Tonabnehmer beim ersten Song bei r1 = 14,5 cm, beim letzten Song bei r2 = 6,5 cm.

a) Bahngeschwindigkeit beim ersten Song? b) Beim letzten Song? (Zwei Nachkommastellen.)

m/s
m/s
Ansatz: Die Platte dreht sich als Ganzes — ω ist für beide Songs gleich. Nur der Radius unterscheidet sich. Nutze v = ω · r.
Rechenweg: Radien in Meter: 0,145 m und 0,065 m. Dann v1 = 4,71 · 0,145 und v2 = 4,71 · 0,065.
Lösung: a) 0,68 m/s. b) 0,31 m/s — außen ist die Nadel mehr als doppelt so schnell unterwegs.
Vollständige Lösung
v1 = ω · r1 = 4,71 1/s · 0,145 m = 0,68 m/s
v2 = ω · r2 = 4,71 1/s · 0,065 m = 0,31 m/s
Obwohl sich die Platte immer gleich schnell dreht, ist die Nadel außen mehr als doppelt so schnell wie innen.
14,5 cm 6,5 cm gleiches ω, verschiedene v
v = ω · r
A7
Tonband — die volle Spule
AFB II

Beim Tonband läuft das Band mit v = 19 cm/s am Tonkopf vorbei. Die volle Spule hat den Radius r1 = 5,5 cm.

a) Berechne die Winkelgeschwindigkeit ω1 der vollen Spule. b) Berechne die zugehörige Umlaufdauer T1. (Zwei Nachkommastellen.)

1/s
s
Ansatz: Stelle v = ω · r nach ω um. Für die Umlaufdauer nutzt du danach ω = 2π / T.
Rechenweg: v = 0,19 m/s, r1 = 0,055 m. ω1 = 0,19 / 0,055. Dann T1 = 2π / ω1.
Lösung: a) ω1 = 3,45 1/s. b) T1 = 1,82 s.
Vollständige Lösung
v = 19 cm/s = 0,19 m/s, r1 = 0,055 m
ω1 = v / r1 = 0,19 / 0,055 = 3,45 1/s
T1 = 2π / ω1 = 2π / 3,45 = 1,82 s
Die leere Spule (r2 = 2,2 cm) dreht mit ω2 = 8,64 1/s deutlich schneller.
voll · 5,5 cm leer · 2,2 cm v = 19 cm/s am Tonkopf
Zwei Spulen, ein Band
A8
Tonband — Spielzeit
AFB II

Dasselbe Tonband ist 540 m lang und läuft mit v = 19 cm/s am Tonkopf vorbei.

a) Wie lange dauert das Abspielen in Sekunden? b) Wie viele Minuten sind das (zwei Nachkommastellen)?

s
min
Ansatz: Hier reicht die einfache Bewegungsgleichung s = v · t. Die Bandlänge ist die Strecke, die am Tonkopf vorbeiläuft.
Rechenweg: t = s / v = 540 m / 0,19 m/s. Für Minuten anschließend durch 60 teilen.
Lösung: a) t ≈ 2842 s. b) t ≈ 47,37 min.
Vollständige Lösung
Aus s = v · t folgt t = s / v.
t = 540 m / 0,19 m/s = 2842 s
2842 s / 60 = 47,37 min
Die Radien der Spulen spielen dabei keine Rolle — nur die Bandgeschwindigkeit am Tonkopf.
s = 540 m v = 0,19 m/s t = s / v
Strecke durch Geschwindigkeit
A9
Karussell — innen und außen
AFB II

Auf einem Karussell mit der Umlaufdauer T = 5,0 s sitzt ein Kind innen bei r1 = 1,0 m, ein zweites außen bei r2 = 2,6 m.

a) Bahngeschwindigkeit innen? b) Bahngeschwindigkeit außen? (Zwei Nachkommastellen.)

m/s
m/s
Ansatz: Beide Plätze sitzen auf demselben Karussell — also dieselbe Umlaufdauer T. Nutze v = 2πr / T.
Rechenweg: v1 = 2π · 1,0 m / 5,0 s. v2 = 2π · 2,6 m / 5,0 s.
Lösung: a) 1,26 m/s. b) 3,27 m/s — das Verhältnis 3,27 / 1,26 = 2,6 ist genau das Verhältnis der Radien.
Vollständige Lösung
v1 = 2π · 1,0 m / 5,0 s = 1,26 m/s
v2 = 2π · 2,6 m / 5,0 s = 3,27 m/s
Alle Plätze haben dieselbe Umlaufdauer und dieselbe Winkelgeschwindigkeit — allein der Radius entscheidet über die Bahngeschwindigkeit.
T = 5,0 s für beide
Pfeillängen ≙ v
A10
Karussell — welche Kraft hält das Kind auf der Bahn?
AFB II

Das Kind auf dem äußeren Platz (r2 = 2,6 m, v2 = 3,27 m/s) hat die Masse m = 40 kg.

a) Berechne die Zentripetalbeschleunigung aZ (zwei Nachkommastellen). b) Berechne den Betrag der Zentripetalkraft FZ (eine Nachkommastelle).

m/s²
N
Ansatz: aZ = v² / r, danach FZ = m · aZ. Erst quadrieren, dann teilen, dann mit der Masse multiplizieren.
Rechenweg: v² = 3,27² = 10,69 (m/s)². aZ = 10,69 / 2,6. FZ = 40 kg · aZ.
Lösung: a) aZ = 4,11 m/s². b) FZ = 164,5 N.
Vollständige Lösung
aZ = v² / r = (3,27 m/s)² / 2,6 m = 10,69 / 2,6 = 4,11 m/s²
FZ = m · aZ = 40 kg · 4,11 m/s² = 164,5 N
Diese Kraft zeigt nach innen und hält das Kind auf der Kreisbahn. Nach außen spürt es die gleich große Zentrifugalkraft — verursacht durch seine Trägheit.
40 F_ZP F_ZF v gleich groß, entgegengesetzt gerichtet
Kräfte am äußeren Platz