Probeklausur

a) f = 1 / T = 1 / 60 s = 0,0167 Hz

b) T = 1 / f = 1 / 0,75 Hz = 1,33 s

c) 12 · 60 · 60 s = 43 200 s

d) ω = 2π / T = 2π / 60 s = 0,105 1/s

e) ω = 2π · f = 2π · 3 Hz = 18,85 1/s

f) v = ω · r = 1,571 · 1,5 m = 2,36 m/s

Frequenz → f = 1 / T  ·  Bahngeschwindigkeit → v = 2πr / T  ·  Winkelgeschwindigkeit → ω = 2π / T

Zentripetalbeschleunigung → a_Z = v² / r  ·  Zentripetalkraft → F_Z = m · v² / r

Nicht gebraucht: U = 2πr (Kreisumfang) und F = m · a (allgemeines 2. Newtonsches Gesetz).

a) 45 · 60 s = 2700 s

b) 4,7 ÷ 100 = 0,047 m

c) 19 ÷ 100 = 0,19 m/s

d) 2 · 60 · 60 s = 7200 s

a) 90° = ½π ≈ 1,571

b) 180° = π ≈ 3,142

c) 360° = 2π ≈ 6,283

d) 120° = ⅔π ≈ 2,094

Die Definition enthält zwei Bedingungen: konstante Geschwindigkeit und konstanter Radius. Fehlt eine davon, ist die Kreisbewegung nicht gleichförmig.

Aus v = 2πr · f folgt f = v / (2πr).

a) f₁ = 1,2 / (2π · 0,02) = 9,55 Hz

b) f₂ = 1,2 / (2π · 0,055) = 3,47 Hz

c) v = 52 · 1,2 = 62,4 m/s · f = 62,4 / (2π · 0,02) = 497 Hz — rund 29 800 Umdrehungen pro Minute.

a) f = 45 / 60 s = 0,75 Hz

b) T = 1 / f = 4/3 s ≈ 1,33 s

c) ω = 2π · f = 2π · 0,75 ≈ 4,71 1/s

a) v₁ = ω · r₁ = 4,71 · 0,145 m = 0,68 m/s

b) v₂ = 4,71 · 0,065 m = 0,31 m/s

c) Die Mitte zwischen beiden Radien liegt bei 10,5 cm. Außen ist die Bahngeschwindigkeit aber mehr als doppelt so groß, dort wird pro Umdrehung eine längere Rille abgetastet. Nach der halben Spielzeit ist die Nadel deshalb noch weiter außen als 10,5 cm.

Aus v = ω · r folgt ω = v / r, mit v = 0,19 m/s.

a) ω₁ = 0,19 / 0,055 = 3,45 1/s

b) ω₂ = 0,19 / 0,022 = 8,64 1/s — die volle Spule dreht sich langsamer als die leere.

c) T₁ = 2π / ω₁ = 2π / 3,45 = 1,82 s

Aus s = v · t folgt t = s / v.

a) t = 540 m / 0,19 m/s = 2842 s

b) 2842 s / 60 = 47,37 min. Die Spulenradien spielen dabei keine Rolle.

a) a_Z = v² / r = (3,27 m/s)² / 2,6 m = 10,69 / 2,6 = 4,11 m/s²

b) F_Z = m · a_Z = 40 kg · 4,11 m/s² = 164,5 N. Diese Kraft zeigt nach innen; nach außen wirkt die gleich große Zentrifugalkraft.

F_Z = m · v² / r ⟹ v² = F_Z · r / m = 164,5 · 2,6 / 40 = 10,69 (m/s)²

v = √10,69 = 3,27 m/s — erst v² isolieren, dann die Wurzel ziehen.

a) ω bleibt gleich, v verdoppelt sich. a_neu = (2v)² / (2r) = 4v² / (2r) = 2 · v²/r — Faktor 2, nicht 4.

b) F_neu = m · (2v)² / r = 4 · m · v²/r — Faktor 4, weil v quadratisch eingeht.

Links. Nach dem Loslassen fliegt der Körper tangential weiter — in Richtung seiner Geschwindigkeit, nicht radial nach außen. Beim Drehsinn im Uhrzeigersinn zeigt die Tangente am linken Bahnpunkt senkrecht nach oben.

Ansatz → F_Z = m · a_Z · Ähnliche Dreiecke → Δv / Δs = v / r · Umgestellt → Δv = Δs · v / r · Eingesetzt → a_Z = v² / r

Nicht gebraucht: v = 2πr / T — das ist die Bahngeschwindigkeit, kein Schritt der Herleitung.

Im Schritt Δs / Δt = v wird die Sehne wie der zurückgelegte Weg behandelt — der Körper läuft aber auf dem Bogen. Im Grenzfall Δt → 0 fallen beide zusammen, dann ist die Herleitung exakt. Die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke gilt dagegen für jeden Winkel α exakt.

Richtig:

• In ω = 2π / T kommt kein Radius vor.

• v = ω · r verbindet beide Geschwindigkeiten.

• Ohne Zentripetalkraft bleibt nur die Trägheit — der Körper fliegt tangential weiter.

• F_Z = m · v² / r: v geht quadratisch ein, doppeltes v bedeutet vierfache Kraft.

Falsch: Ein größerer Radius ändert ω nicht, sondern nur v. Und die Beträge der beiden Kräfte sind gleich groß: |F_ZP| = |F_ZF|.