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Textaufgaben: Zentripetalkraft berechnen

Zwei Sachaufgaben zur Formel F_Z = m · v²/r — der Stein an der Schnur und die Kurvenfahrt.

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Sachaufgaben

Die Aufgaben sind wie im Abitur aufgebaut: Sachtext, gegebenenfalls ein Material und drei Teilaufgaben. Die unterstrichenen Operatoren sagen dir, was genau verlangt ist — fahre mit der Maus darüber oder springe mit Tab darauf. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont. Öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Der Stein an der Schnur

AFB II

Ein Stein der Masse \(m = 0{,}20\,\mathrm{kg}\) wird an einer Schnur auf einer waagerechten Kreisbahn mit dem Radius \(r = 0{,}80\,\mathrm{m}\) herumgeführt. Er schafft 3 volle Umdrehungen in \(1{,}5\,\mathrm{s}\) (Material M1).

M1Stein an der Schnur
r = 0,80 m m = 0,20 kg v 3 Umdrehungen in 1,5 s

Der rote Pfeil ist die Zentripetalkraft, die die Schnur auf den Stein ausübt.

  1. Berechne die Umlaufdauer, die Frequenz und die Bahngeschwindigkeit.
  2. Berechne die Zentripetalbeschleunigung.
  3. Berechne die Kraft, mit der die Schnur am Stein ziehen muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Umlaufdauer ist die Zeit für eine Umdrehung. Für die Bahngeschwindigkeit nutzt du \(v = \dfrac{2\pi r}{T}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Herleitung liefert \(a_Z = \dfrac{v^2}{r}\). Achte darauf, \(v\) zuerst zu quadrieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Gefragt ist die Zentripetalkraft. Sie folgt aus dem 2. Newtonschen Gesetz: \(F_Z = m\cdot a_Z\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(T = \dfrac{1{,}5\,\mathrm{s}}{3} = \mathbf{0{,}50\,\mathrm{s}}\)

\(f = \dfrac{1}{T} = \mathbf{2{,}0\,\mathrm{Hz}}\)

\(v = \dfrac{2\pi r}{T} = \dfrac{2\pi\cdot 0{,}80\,\mathrm{m}}{0{,}50\,\mathrm{s}} \approx \mathbf{10{,}05\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(a_Z = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{\left(10{,}05\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^2}{0{,}80\,\mathrm{m}} \approx \mathbf{126\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Das ist etwa das Dreizehnfache der Erdbeschleunigung — und das bei einem Stein, den man mit einer Hand herumschwingt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(F_Z = m\cdot a_Z = 0{,}20\,\mathrm{kg}\cdot 126\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \approx \mathbf{25\,\mathrm{N}}\)

Kontrolle in einem Schritt: \(F_Z = m\cdot\dfrac{v^2}{r} = 0{,}20\cdot\dfrac{101}{0{,}80}\,\mathrm{N} \approx 25\,\mathrm{N}\).

2

Die Kurvenfahrt

AFB III

Ein Auto der Masse \(m = 1200\,\mathrm{kg}\) durchfährt eine Kurve mit dem Radius \(r = 40\,\mathrm{m}\). Zunächst fährt es mit \(v_1 = 15\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) (rund \(54\,\mathrm{\frac{km}{h}}\)).

  1. Berechne die Zentripetalkraft, die dafür nötig ist.
  2. Ermittle, wie groß die Zentripetalkraft bei \(v_2 = 30\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) wäre.
  3. Beurteile die Aussage: „Wenn ich doppelt so schnell durch die Kurve fahre, brauche ich doppelt so viel Halt auf der Straße.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze direkt in \(F_Z = m\cdot\dfrac{v^2}{r}\) ein. Alle Größen liegen bereits in den Grundeinheiten vor.
Hinweis zu Aufgabe b)
Du kannst neu einsetzen — oder überlegen, mit welchem Faktor sich \(v^2\) ändert, wenn \(v\) verdoppelt wird.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die beiden Ergebnisse aus a) und b) miteinander und schau dir an, in welcher Potenz \(v\) in der Formel steht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(F_{Z,1} = m\cdot\dfrac{v_1^2}{r} = 1200\,\mathrm{kg}\cdot\dfrac{\left(15\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^2}{40\,\mathrm{m}} = 1200\cdot\dfrac{225}{40}\,\mathrm{N} = \mathbf{6750\,\mathrm{N}}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(F_{Z,2} = 1200\,\mathrm{kg}\cdot\dfrac{\left(30\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^2}{40\,\mathrm{m}} = 1200\cdot\dfrac{900}{40}\,\mathrm{N} = \mathbf{27\,000\,\mathrm{N}}\)

Das ist genau das Vierfache des Wertes aus a).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch.

Begründung: In \(F_Z = m\cdot\dfrac{v^2}{r}\) geht die Geschwindigkeit quadratisch ein. Setzt man \(2v\) ein, so folgt \(F_{Z,\text{neu}} = m\cdot\dfrac{(2v)^2}{r} = 4\cdot m\cdot\dfrac{v^2}{r} = 4\,F_Z\).

Bei doppelter Geschwindigkeit ist also die vierfache Kraft nötig — von \(6750\,\mathrm{N}\) auf \(27\,000\,\mathrm{N}\). Genau deshalb werden Kurven bei hoher Geschwindigkeit so schnell kritisch: Die Straße kann irgendwann nicht mehr genügend Kraft übertragen, und das Auto folgt der Kurve nicht mehr.

Korrekte Fassung: „Wenn ich doppelt so schnell durch die Kurve fahre, brauche ich viermal so viel Halt auf der Straße.“

Weiterlernen3.3.3 Experimente zu KreisbewegungenAcht Themen für Präsentation und Experiment.