Zwei Sachaufgaben zum Umrechnen und zur Bogenlänge — der Sekundenzeiger und der Kreisverkehr.
Die Aufgaben sind wie im Abitur aufgebaut: Sachtext, gegebenenfalls ein Material und drei Teilaufgaben. Die unterstrichenen Operatoren sagen dir, was genau verlangt ist — fahre mit der Maus darüber oder springe mit Tab darauf. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont. Öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.
Der Sekundenzeiger einer Bahnhofsuhr ist \(r = 12\,\mathrm{cm}\) lang. Er startet oben bei der 12 (Material M1).
Der Zeiger startet jeweils oben bei der 12. Gelb markiert ist der bereits überstrichene Winkel.
Nach 15 s: \(\dfrac{15\,\mathrm{s}}{60\,\mathrm{s}} = \dfrac{1}{4}\) einer Runde, also \(\dfrac{1}{4}\cdot 360^\circ = \mathbf{90^\circ}\) bzw. \(\dfrac{1}{4}\cdot 2\pi = \mathbf{\tfrac{1}{2}\pi \approx 1{,}571}\).
Nach 40 s: \(\dfrac{40\,\mathrm{s}}{60\,\mathrm{s}} = \dfrac{2}{3}\) einer Runde, also \(\dfrac{2}{3}\cdot 360^\circ = \mathbf{240^\circ}\) bzw. \(\dfrac{2}{3}\cdot 2\pi = \mathbf{\tfrac{4}{3}\pi \approx 4{,}189}\).
\(r = 12\,\mathrm{cm} = 0{,}12\,\mathrm{m}\), Bogenlänge \(b = \varphi\cdot r\)
nach 15 s: \(b = 1{,}571\cdot 0{,}12\,\mathrm{m} \approx \mathbf{0{,}19\,\mathrm{m}}\) (rund \(19\,\mathrm{cm}\))
nach 40 s: \(b = 4{,}189\cdot 0{,}12\,\mathrm{m} \approx \mathbf{0{,}50\,\mathrm{m}}\) (rund \(50\,\mathrm{cm}\))
Kontrolle: Der volle Umfang beträgt \(2\pi\cdot 0{,}12\,\mathrm{m} \approx 0{,}75\,\mathrm{m}\). Ein Viertel davon sind \(0{,}19\,\mathrm{m}\), zwei Drittel davon \(0{,}50\,\mathrm{m}\) — beides passt.
Das Bogenmaß ist bereits eine Länge: die Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis. Multipliziert man sie mit dem Radius, erhält man direkt die Bogenlänge des tatsächlichen Kreises.
Die Gradzahl ist dagegen eine reine Zähleinheit ohne Bezug zur Kreisgeometrie. Mit ihr gerechnet käme \(90\cdot 0{,}12\,\mathrm{m} = 10{,}8\,\mathrm{m}\) heraus — mehr als das Vierzehnfache des gesamten Umfangs und damit offensichtlich unsinnig.
Ein Kreisverkehr hat auf der Mitte der Fahrspur den Radius \(r = 14\,\mathrm{m}\). Ein Auto fährt hinein und verlässt ihn erst an der dritten Ausfahrt. Dabei überstreicht es einen Winkel von \(270^\circ\).
\(\dfrac{270^\circ}{360^\circ} = \dfrac{3}{4}\), also \(\varphi = \dfrac{3}{4}\cdot 2\pi = \mathbf{\tfrac{3}{2}\pi \approx 4{,}712}\).
\(b = \varphi\cdot r = 4{,}712\cdot 14\,\mathrm{m} \approx \mathbf{66\,\mathrm{m}}\)
Kontrolle über den Umfang: \(2\pi\cdot 14\,\mathrm{m} \approx 88\,\mathrm{m}\); drei Viertel davon sind \(66\,\mathrm{m}\).
Die Aussage ist richtig — und zwar unabhängig vom Radius des Kreisverkehrs.
Begründung: Die Bogenlänge wächst proportional zum Winkel. Ein Winkel von \(90^\circ\) ist ein Viertel von \(360^\circ\), im Bogenmaß also \(\tfrac{1}{2}\pi\) von \(2\pi\). Damit ist \(b = \tfrac{1}{2}\pi\cdot r\), und der volle Umfang ist \(2\pi r\) — der Quotient beträgt genau \(\tfrac{1}{4}\). Der Radius kürzt sich heraus, die Aussage gilt für jeden Kreis.