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Übung — AFB III

Begründen, rückwärts rechnen, beurteilen: Warum kürzt sich die Masse heraus, was leistet die Annahme „ohne Reibung“ — und wo endet die Rechnung.

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Aufgabenblock — AFB III

Hier geht es nicht mehr ums bloße Einsetzen — du sollst begründen, rückwärts arbeiten und beurteilen. Mehrere Aufgaben haben keine fertige Zahl als Lösung, sondern verlangen einen Begründungssatz. Bei diesen gilt: erst selbst denken, dann die Musterlösung öffnen — das Aufklappen zählt als erledigt. Es gilt durchgehend g = 9,81 m/s²; Reibung wird — wo nicht anders gesagt — vernachlässigt.

A1
Verallgemeinern — warum die Masse verschwindet
AFB III

Erkläre in 3–4 Sätzen, warum die Masse eines fallenden Körpers am Ergebnis für die Aufprallgeschwindigkeit nichts ändert — obwohl in Epot = m · g · h und in Ekin = ½ · m · v² beide Male ein m steht.

Hinweis: Setze die beiden Energien gleich und kürze.

Strategie: Schreibe den Energieerhaltungssatz für den freien Fall ohne Startgeschwindigkeit auf: m · g · h = ½ · m · v². Was passiert, wenn du beide Seiten durch m teilst?
Lösungsskizze: Nach dem Kürzen bleibt g · h = ½ · v², also v = √(2 · g · h). In diesem Term kommt m nicht mehr vor. Physikalisch: Eine größere Masse speichert oben mehr Lageenergie, braucht für dieselbe Geschwindigkeit unten aber im genau gleichen Verhältnis mehr Bewegungsenergie.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Ohne Reibung wird die gesamte Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt, es gilt also m · g · h = ½ · m · v². Da auf beiden Seiten derselbe Faktor m steht, lässt er sich kürzen; übrig bleibt v = √(2 · g · h). Die Aufprallgeschwindigkeit hängt damit nur von der Fallhöhe ab. Ursache: Eine größere Masse speichert zwar mehr Lageenergie, benötigt aber für dieselbe Geschwindigkeit auch genau im selben Verhältnis mehr kinetische Energie — beide Effekte heben sich auf. Die Energien unterscheiden sich dagegen sehr wohl: Springer ① (40 kg aus 10 m) und Springer ② (80 kg aus 5 m) haben beide 3924 J, treffen aber mit 14,007 m/s bzw. 9,905 m/s auf.

2m m gleiche Höhe h unten: gleiches v = √(2gh)
Gleiche Höhe, gleiche Geschwindigkeit
A2
Rückwärts — die Federkonstante der Federpistole
AFB III

Max schießt eine 2 g schwere Gummikugel mit einer Federpistole 4,5 m senkrecht nach oben. Dazu musste er die Feder um 5 cm zusammendrücken.

a) Berechne die potenzielle Energie der Kugel im höchsten Punkt. b) Berechne daraus die Federkonstante.

J
N/m
Strategie: 2 g sind 0,002 kg, 5 cm sind 0,05 m. Die gesamte Spannenergie der Feder wurde in Lageenergie umgewandelt: ESpann = Epot.
Lösungsskizze: Epot = 0,002 · 9,81 · 4,5 ≈ 0,0883 J. Dann D = (2 · ESpann) : s² = (2 · 0,08829) : 0,05².
Musterlösung anzeigen

a) m = 2 g = 0,002 kg; Epot = 0,002 kg · 9,81 m/s² · 4,5 m ≈ 0,088 J.

b) Da ESpann = Epot = 0,088 29 J gilt und s = 5 cm = 0,05 m ist, folgt D = (2 · 0,088 29) : 0,05² = 0,176 58 : 0,0025 ≈ 70,6 N/m. Antwortsatz: Die Federkonstante beträgt etwa 70,6 N/m.

2 g 4,5 m s = 5 cm
Spannenergie wird Lageenergie
A3
Beurteilen — ein Looping in 22 m Höhe?
AFB III

Der Achterbahnwagen (600 kg) besitzt die Gesamtenergie 147 720 J. Geplant ist ein Looping, dessen Spitze in 22 m Höhe liegt.

a) Berechne die dafür nötige Lageenergie. b) Berechne die dort verbleibende kinetische Energie. c) Beurteile anschließend, ob der Wagen diesen Looping durchfahren könnte.

J
J
Strategie: Berechne, welche potenzielle Energie 22 m erfordern würden, und vergleiche mit der Gesamtenergie. „Beurteilen“ verlangt ein begründetes Urteil, nicht nur eine Zahl.
Lösungsskizze: Epot = 600 · 9,81 · 22 = 129 492 J. Das ist weniger als 147 720 J — rechnerisch bleiben 18 228 J übrig, also v ≈ 7,8 m/s. Beim Urteil musst du aber die Voraussetzung „ohne Reibung“ mitdenken.
Musterlösung anzeigen

a) Epot = 600 · 9,81 · 22 = 129 492 J. b) Ekin = 147 720 − 129 492 = 18 228 J, das entspricht v = √((2 · 18 228) : 600) ≈ 7,8 m/s.

c) Beurteilung: Rein energetisch könnte der Wagen die Höhe erreichen, denn seine Gesamtenergie reicht aus und es bliebe sogar noch Bewegungsenergie übrig. Einschränkung: Die Rechnung setzt voraus, dass gar keine Reibung auftritt. In Wirklichkeit geht auf dem Weg dorthin Energie in thermische Energie über, sodass der Spielraum deutlich kleiner ist. Ein Looping in 22 m Höhe wäre also allenfalls knapp möglich und in der Praxis nicht sicher zu betreiben.

E_ges bei 22 m 147 720 J 129 492 J + Rest Grenze
Reicht die Energie?
A4
Hau den Lukas — von der Punktzahl zur Geschwindigkeit
AFB III

Bei „Hau den Lukas“ wird eine 2 kg schwere Scheibe senkrecht nach oben beschleunigt. Die Skala reicht von 0 bis 1000 Punkte auf einer Höhe von 8 m. Ayca erreicht 875 Punkte.

a) Welcher Höhe entspricht das? b) Berechne die Geschwindigkeit der Scheibe kurz nach dem Schlag (eine Nachkommastelle).

m
m/s
Strategie: Die Punktzahl ist eine Höhenangabe in anderer Verkleidung: 875 von 1000 Punkten entsprechen 875/1000 der 8 m. Setze dann Epot oben gleich Ekin unten.
Lösungsskizze: h = (875 : 1000) · 8 m = 7 m. Epot = 2 · 9,81 · 7 = 137,34 J. v = √((2 · 137,34) : 2) = √137,34.
Musterlösung anzeigen

a) 875 Punkte entsprechen h = (875 : 1000) · 8 m = 7 m.

b) Epot = 2 · 9,81 · 7 = 137,34 J. Da diese Energie unten als kinetische Energie vorlag, gilt v = √((2 · 137,34) : 2) = √137,34 ≈ 11,7 m/s.

1000 P — 8 m750 P500 P — 4 m250 P0 P 875 Scheibe 2 kg
Punktzahl = Höhe
A5
Hau den Lukas — von der Geschwindigkeit zur Punktzahl
AFB III

Bei Johans Schlag verlässt die Scheibe (2 kg) den Startpunkt mit 45 km/h. Berechne in vier Schritten seine Punktzahl.

m/s
J
m
P
Strategie: Vier Schritte, jeden einzeln notieren: km/h in m/s (: 3,6) — Ekin berechnen — daraus die Höhe — daraus die Punktzahl.
Lösungsskizze: 45 : 3,6 = 12,5 m/s. Ekin = ½ · 2 · 12,5². Diese Energie wird vollständig zu Lageenergie: h = E : (m · g). Punktzahl = (h : 8) · 1000.
Musterlösung anzeigen

45 km/h : 3,6 = 12,5 m/s. Ekin = ½ · 2 · 12,5² = 156,25 J.

Diese Energie wird vollständig in Lageenergie umgewandelt: h = E : (m · g) = 156,25 : (2 · 9,81) ≈ 7,963 m. Punktzahl = (7,963 : 8) · 1000 ≈ 995 Punkte.

45 km/h 12,5 m/s 156,25 J h ≈ 7,96 m → Punktzahl ≈ 995
Vier Schritte nacheinander
A6
Zwischenpunkt — Geschwindigkeit an der 500-Punkte-Marke
AFB III

Johans Scheibe (2 kg) startet mit der Gesamtenergie 156,25 J. Bestimme ihre Geschwindigkeit beim Passieren der 500-Punkte-Marke (eine Nachkommastelle).

J
m/s
Strategie: Die 500-Punkte-Marke liegt auf halber Skalenhöhe, also bei h = 4 m. Verwende die Gesamtenergie aus A5 und ziehe die dortige potenzielle Energie ab.
Lösungsskizze: Epot = 2 · 9,81 · 4 = 78,48 J. Ekin = 156,25 − 78,48 = 77,77 J. Dann v = √((2 · 77,77) : 2).
Musterlösung anzeigen

Die 500-Punkte-Marke liegt bei h = 4 m. Dort ist Epot = 2 · 9,81 · 4 = 78,48 J, also Ekin = 156,25 − 78,48 = 77,77 J und damit v = √((2 · 77,77) : 2) = √77,77 ≈ 8,8 m/s (rund 32 km/h).

Beachte den Unterschied zu A4: Dort war der höchste Punkt gemeint (Ekin = 0, also Ekin,unten = Epot,oben), hier ein Zwischenpunkt — da gilt Ekin = Eges − Epot.

unten (0 m)bei 4 m 156,25 J kin77,77 J kin
Am Zwischenpunkt: Eges − Epot
A7
Überprüfen — „Du hältst den Hammer nur höher“
AFB III

Ayca sagt zu Johan: „Das Spiel ist unfair, du bist nicht stärker, du hältst einfach den Hammer 40 cm höher als ich.“ Der Hammer wiegt 5 kg.

a) Berechne, wie viel zusätzliche Energie 40 cm mehr Hammerhöhe bedeuten. b) Überprüfe damit Aycas Aussage (Energien der Scheiben: 137,34 J und 156,25 J).

J
J
Strategie: „Überprüfen“ heißt: die Aussage an Zahlen messen und ein klares Ergebnis formulieren. Rechne beide Energiebeträge aus und vergleiche sie.
Lösungsskizze: ΔE = m · g · Δh = 5 · 9,81 · 0,40. Energieunterschied der beiden Schüsse: 156,25 J − 137,34 J.
Musterlösung anzeigen

Energieunterschied der beiden Schüsse: 156,25 J − 137,34 J = 18,91 J. Zusätzliche Energie durch 40 cm mehr Hammerhöhe: ΔE = 5 · 9,81 · 0,40 = 19,62 J.

Die beiden Beträge stimmen fast überein. Die größere Ausholhöhe erklärt den Unterschied also praktisch vollständig — Aycas Aussage ist bestätigt. Einschränkungen: Die Rechnung setzt voraus, dass beide Schläge gleich gut treffen und dass keine Energie durch Reibung verloren geht; die kleine Differenz von 0,71 J liegt im Rahmen dieser Ungenauigkeiten. Streng genommen zeigt die Rechnung nur, dass die Höhendifferenz ausreicht, um den Unterschied zu erklären — nicht, dass Johan gar keine größere Kraft aufgewendet hat.

Hammer +40 cmSchuss-Differenz 19,62 J18,91 J fast gleich groß
Zwei Beträge im Vergleich
A8
Struktur erkennen — zwei Formeln, ein Bauplan
AFB III

Begründe, warum man die Umformungen von Ekin = ½ · m · v² nicht getrennt von denen der Spannenergie ESpann = ½ · D · s² lernen muss.

Erkläre außerdem, warum sich die kinetische Energie halbiert, wenn die Masse verdoppelt und die Geschwindigkeit halbiert wird.

Strategie: Vergleiche den Bau beider Formeln Element für Element: ein Halb, eine Konstante des Körpers, eine Größe im Quadrat. Für den zweiten Teil: bestimme beide Faktoren getrennt und multipliziere sie.
Lösungsskizze: m ↔ D und v ↔ s. Doppelte Masse gibt Faktor 2, halbe Geschwindigkeit Faktor ¼ (weil v quadriert wird). 2 · ¼ = ½.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Teil 1: Beide Formeln haben denselben Bau: ein Halb, eine Konstante des Körpers (m bzw. D) und eine Größe im Quadrat (v bzw. s). Deshalb laufen auch die Umformungen identisch ab: erst mal 2, dann durch die Störgröße teilen — und nur beim Weg zur quadrierten Größe kommt am Ende die Wurzel dazu. Aus m = (2 · E) : v² wird eins zu eins D = (2 · E) : s², aus v = √((2 · E) : m) wird s = √((2 · E) : D). Wer eine der beiden Umformungen beherrscht, beherrscht automatisch auch die andere.

Teil 2: Die Masse geht einfach in die Formel ein, die Geschwindigkeit im Quadrat. Verdoppelte Masse ergibt daher den Faktor 2, halbierte Geschwindigkeit den Faktor (½)² = ¼. Bei zwei gleichzeitigen Änderungen werden die Faktoren multipliziert: 2 · ¼ = ½. Die kinetische Energie halbiert sich also.

m verdoppelt · 2 × v halbiert · ¼ E wird · ½ Faktoren getrennt bestimmen, dann multiplizieren
Faktoren multiplizieren
A9
Bewerten — drei Fehler in einer Schülerrechnung
AFB III

Ein Schüler bearbeitet die Achterbahnaufgabe (600 kg, Start bei 20 m mit 10 m/s, Loopingspitze bei 12 m) und notiert:

(1) „Am Start gilt Epot = 600 · 9,81 · 20 = 117 720 J.“ · (2) „Die Gesamtenergie beträgt also 117 720 J.“ · (3) „Bei 12 m ist Epot = 70 632 J.“ · (4) „Also ist dort Ekin = 70 632 J.“ · (5) „Aus Ekin = ½ · m · v² folgt v = √((2 · Ekin) : m).“ · (6) „v ≈ 16 m/s, also rund 16 km/h.“

Benenne die drei falschen Zeilen und begründe jeweils, was richtig wäre.

Strategie: Prüfe zuerst, ob die Gesamtenergie vollständig ist. Danach, welche Energieform an der Loopingspitze gemeint ist. Zuletzt die Einheit im Antwortsatz.
Lösungsskizze: Falsch sind die Zeilen (2), (4) und (6) — vergessene Startenergie, verwechselte Energieformen und die fehlende Umrechnung in km/h.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Zeile (2) ist falsch. Der Wagen startet bereits mit 10 m/s. Dazu gehören ½ · 600 · 10² = 30 000 J Bewegungsenergie; die Gesamtenergie beträgt Eges = 147 720 J.

Zeile (4) ist falsch. An der Loopingspitze gilt nicht Ekin = Epot, sondern Ekin = Eges − Epot = 147 720 − 70 632 = 77 088 J.

Zeile (6) ist falsch. 16,03 m/s sind nicht 16 km/h. Mit dem Faktor 3,6 ergibt sich 16,03 · 3,6 ≈ 57,7 km/h.

Die Zeilen (1), (3) und (5) sind dagegen korrekt. Diese drei Fehlertypen — vergessene Startenergie, verwechselte Energieformen und fehlende Einheitenumrechnung — kosten in Klausuren am häufigsten Punkte.

1 ✓ 2 ✗ 3 ✓ 4 ✗ 5 ✓ 6 ✗ Startenergie fehltFormen verwechseltEinheit falsch
Drei typische Fehlerstellen
A10
Erläutern — was die Annahme „ohne Reibung“ leistet
AFB III

Erläutere, welche Rolle die Annahme „Reibungsverluste werden vernachlässigt“ für den Lösungsweg bei der Federpistole aus A2 spielt — und in welche Richtung der berechnete Wert für D vom wahren Wert abweicht.

Strategie: Überlege, wo bei einem echten Schuss Energie verloren ginge — und ob die Feder dann mehr oder weniger Energie gespeichert haben müsste, um dieselbe Höhe zu erreichen.
Lösungsskizze: Ohne die Annahme dürfte man ESpann und Epot nicht gleichsetzen. Ein Teil der Spannenergie geht in thermische Energie über — die Feder muss also mehr gespeichert haben.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Ohne die Annahme dürfte man ESpann und Epot nicht gleichsetzen — genau diese Gleichsetzung ist aber der Kern des Lösungswegs. In Wirklichkeit geht ein Teil der Spannenergie durch Luftwiderstand und Reibung im Lauf verloren und wird in thermische Energie umgewandelt; außerdem bleibt in der Feder selbst etwas Energie. Die Feder müsste also mehr Energie gespeichert haben als 0,088 J, und die tatsächliche Federkonstante wäre größer als der berechnete Wert von 70,6 N/m. Die Annahme macht die Aufgabe lösbar, liefert aber nur eine untere Abschätzung für D. Dieselbe Überlegung gilt für alle Aufgaben dieses Kapitels: Der Energieerhaltungssatz der Mechanik in der Form Eges = konstant setzt Reibungsfreiheit voraus.

ideal alles → E_pot real Rest → thermisch gespeicherte Spannenergie
Ideal und real

Reflexion — was hast du mitgenommen?

AFB III bedeutet: nicht nur rechnen, sondern begründen, warum. Du hast geübt:

  • Verallgemeinern — aus m · g · h = ½ · m · v² folgt durch Kürzen v = √(2 · g · h); die Masse spielt für die Aufprallgeschwindigkeit keine Rolle.
  • Rückwärtsrechnen — von der erreichten Höhe zurück auf Federkonstante, Geschwindigkeit oder Punktzahl.
  • Strukturen erkennen — Ekin und ESpann haben denselben Bauplan, also dieselben Umformungen; Faktoren bei Änderungen werden multipliziert.
  • Beurteilen — reicht die Energie für 22 m? Rechnerisch ja, in der Praxis nur knapp, weil Reibung auftritt.
  • Modellannahmen bewerten — „ohne Reibung“ macht Aufgaben lösbar, liefert aber nur eine Abschätzung in eine bekannte Richtung.

In der Klausur zählt eine saubere Begründung oft genauso viel wie das richtige Ergebnis. Schreibe immer einen Antwortsatz mit Einheit — und nenne die Voraussetzung, unter der du gerechnet hast.