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Übung — AFB II

Zehn mehrschrittige Aufgaben: umrechnen, umstellen, Energiebilanz aufstellen. Hier entscheidet sich, ob du in der Klausur über die Grundpunkte hinauskommst.

Dein Fortschritt:
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1

Aufgabenblock — AFB II

10 Aufgaben aus den Unterkapiteln 4.1–4.4. Jede braucht mehrere Schritte: erst umrechnen, dann die Formel nach der gesuchten Größe umstellen oder eine Energiebilanz aufstellen. Bei Schwierigkeiten helfen dir die drei gestuften Tipps — Ansatz, Rechenweg, Lösung. Es gilt durchgehend g = 9,81 m/s²; Reibung wird vernachlässigt.

A1
Ekin umstellen — Masse und Geschwindigkeit
AFB II

a) Ein Körper besitzt Ekin = 1250 J und bewegt sich mit v = 10 m/s. Berechne seine Masse.

b) Ein anderer Körper mit m = 40 kg besitzt Ekin = 1620 J. Berechne seine Geschwindigkeit.

kg
m/s
Ansatz: Beide Wege beginnen gleich — erst die ½ wegbekommen (mal 2), dann die Störgröße wegteilen. Nur bei v kommt am Ende die Wurzel dazu.
Rechenweg: a) m = (2 · Ekin) : v² = (2 · 1250) : 10². b) v = √((2 · Ekin) : m) = √((2 · 1620) : 40).
Lösung: a) 2500 : 100 = 25 kg. b) √(3240 : 40) = √81 = 9 m/s.
Vollständige Lösung
a) m = (2 · 1250) : 10² = 2500 : 100 = 25 kg. Antwortsatz: Die Masse beträgt 25 kg.
b) v = √((2 · 1620) : 40) = √81 = 9 m/s. Antwortsatz: Die Geschwindigkeit beträgt 9 m/s. Merke: Die gesuchte Größe steht am Ende allein auf einer Seite.
E = ½ · m · v² m = 2E : v² v = √(2E : m) · 2, dann : v² · 2, : m, dann √ Wurzel nur beim Weg nach v
Zwei Umformungen
A2
Erst umrechnen, dann umstellen
AFB II

a) Ein Fahrzeug der Masse 1,6 t besitzt die kinetische Energie 12,8 kJ. Berechne seine Geschwindigkeit.

b) Ein Fahrzeug fährt mit 12 m/s und besitzt 86,4 kJ kinetische Energie. Berechne seine Masse.

m/s
kg
Ansatz: Kilo heißt mal 1000 — bei kJ genauso wie bei kg pro Tonne. Rechne zuerst 12,8 kJ und 1,6 t um, danach ist es dieselbe Umformung wie in A1.
Rechenweg: a) 12,8 kJ = 12 800 J, 1,6 t = 1600 kg → v = √((2 · 12 800) : 1600). b) 86,4 kJ = 86 400 J → m = (2 · 86 400) : 12².
Lösung: a) √16 = 4 m/s. b) 172 800 : 144 = 1200 kg.
Vollständige Lösung
a) 12,8 kJ = 12 800 J; 1,6 t = 1600 kg. v = √((2 · 12 800) : 1600) = √16 = 4 m/s.
b) 86,4 kJ = 86 400 J. m = (2 · 86 400) : 144 = 1200 kg (also 1,2 t). Kontrolle: Ohne die beiden Umrechnungen kämen völlig unsinnige Werte heraus.
12,8 kJ ·1000 12 800 J 1,6 t ·1000 1600 kg erst umrechnen — dann umstellen
Umrechnungskette
A3
ESpann umstellen — D und s
AFB II

a) Eine Feder speichert bei s = 0,2 m Auslenkung die Energie 18 J. Berechne die Federkonstante D.

b) Eine Feder mit D = 400 N/m speichert 3200 J. Berechne die Auslenkung s.

N/m
m
Ansatz: ESpann = ½ · D · s² hat denselben Bau wie Ekin = ½ · m · v². Wer die eine Umformung kann, kann automatisch auch die andere — nur die Buchstaben heißen D und s.
Rechenweg: a) D = (2 · 18) : 0,2² = 36 : 0,04. b) s = √((2 · 3200) : 400).
Lösung: a) 36 : 0,04 = 900 N/m (das ist dasselbe wie 3600 : 4). b) √16 = 4 m.
Vollständige Lösung
a) D = (2 · 18) : 0,2² = 36 : 0,04 = 900 N/m. Antwortsatz: Die Federkonstante beträgt 900 N/m.
b) s = √((2 · 3200) : 400) = √16 = 4 m. Beachte: Teilen durch 0,04 macht das Ergebnis größer — das ist kein Rechenfehler.
½ · m · v² ½ · D · s² gleiche Bauart m ↔ D v ↔ s Nur die quadrierte Größe braucht die Wurzel
Derselbe Weg, andere Buchstaben
A4
Feder mit Kilojoule und Zentimetern
AFB II

Eine Feder speichert ESpann = 0,24 kJ bei einer Auslenkung von s = 200 cm. Rechne zuerst beide Größen um und berechne dann die Federkonstante.

J
m
N/m
Ansatz: 0,24 kJ sind 240 J — kilo bedeutet mal 1000. 200 cm sind 2 m. Danach ist es dieselbe Umformung wie in A3 a).
Rechenweg: D = (2 · E) : s² = (2 · 240) : 2² = 480 : 4.
Lösung: 240 J, 2 m, D = 120 N/m.
Vollständige Lösung
0,24 kJ = 240 J; 200 cm = 2 m. D = (2 · 240) : 2² = 480 : 4 = 120 N/m. Antwortsatz: Die Federkonstante beträgt 120 N/m.
200 cm 0,24 kJ D = ?
Zwei Umrechnungen vorweg
A5
Federmodell — von der Länge zur Energie
AFB II

Eine Feder mit D = 100 N/m hat die Ruhelänge 60 cm. Mit angehängter Masse ist sie 80 cm lang.

a) Bestimme die Auslenkung s in Metern. b) Berechne die gespeicherte Spannenergie.

m
J
Ansatz: In die Formel geht nicht die Länge der Feder ein, sondern nur die Auslenkung — und die in Metern.
Rechenweg: s = 80 cm − 60 cm = 20 cm = 0,20 m. ESpann = ½ · 100 · 0,20².
Lösung: s = 0,2 m; ESpann = ½ · 100 · 0,04 = 2,00 J.
Vollständige Lösung
s = 80 cm − 60 cm = 20 cm = 0,2 m. ESpann = ½ · 100 · 0,20² = ½ · 100 · 0,04 = 2,00 J. Falle: Mit 0,8 m statt 0,2 m käme 32 J heraus — der häufigste Fehler bei Federaufgaben.
Ruhelage 60 cm 80 cm s D = 100 N/m
Auslenkung statt Länge
A6
Turmspringen — Springer ②
AFB II

Springerin ② hat m = 80 kg und steht in h = 5 m Höhe über dem Wasser. Reibung wird vernachlässigt.

a) Berechne ihre potenzielle Energie. b) Berechne mit dem Energieerhaltungssatz ihre Auftreffgeschwindigkeit (auf drei Nachkommastellen).

J
m/s
Ansatz: Unten ist h = 0, also ist die gesamte Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt: Ekin = Epot. Danach Ekin = ½ · m · v² nach v umstellen.
Rechenweg: Epot = 80 · 9,81 · 5. Dann v = √((2 · Epot) : 80) = √98,1.
Lösung: Epot = 3924 J; v = √98,1 ≈ 9,905 m/s.
Vollständige Lösung
Epot = 80 · 9,81 · 5 = 3924 J. Mit Ekin = Epot folgt v = √((2 · 3924) : 80) = √98,1 ≈ 9,905 m/s. Beachte: Springer ① (40 kg aus 10 m) hat dieselbe Energie 3924 J, trifft aber mit 14,007 m/s auf — die Geschwindigkeit hängt nur von der Höhe ab.
① 40 kg, 10 m ② 80 kg, 5 m 5 m Nulllinie: Wasseroberfläche
Sprungturm
A7
Turmspringen — Springer ③ in drei Schritten
AFB II

Springer ③ (60 kg) springt aus 2 m Höhe. Bestimme nacheinander: a) die potenzielle Energie oben, b) die kinetische Energie kurz vor dem Wasser, c) die Auftreffgeschwindigkeit (drei Nachkommastellen).

J
J
m/s
Ansatz: Der zweite Schritt verlangt gar keine Rechnung — nur den Energieerhaltungssatz.
Rechenweg: Epot = 60 · 9,81 · 2. Unten ist h = 0, also Ekin = Epot. Dann v = √((2 · Ekin) : 60).
Lösung: 1177,2 J — 1177,2 J — v = √39,24 ≈ 6,264 m/s.
Vollständige Lösung
Epot = 60 · 9,81 · 2 = 1177,2 J. Da unten h = 0 ist und Reibung vernachlässigt wird, gilt Ekin = Epot = 1177,2 J. v = √((2 · 1177,2) : 60) = √39,24 ≈ 6,264 m/s.
obenMitteunten E_potE_kin Summe bleibt 1177,2 J
Energiebilanz beim Fall
A8
Achterbahn — Gesamtenergie und Looping
AFB II

Ein Achterbahnwagen (600 kg) passiert den Startpunkt in 20 m Höhe bereits mit 10 m/s. Die Loopingspitze liegt bei 12 m.

a) Berechne die Gesamtenergie am Start. b) Berechne Epot an der Loopingspitze. c) Berechne die dort verbleibende kinetische Energie.

J
J
J
Ansatz: Am Start liegen beide Energieformen vor: Eges = ½ · m · v² + m · g · h. Der häufigste Fehler ist, die Startgeschwindigkeit zu übersehen.
Rechenweg: Eges = ½ · 600 · 10² + 600 · 9,81 · 20. Bei 12 m: Epot = 600 · 9,81 · 12, danach Ekin = Eges − Epot.
Lösung: 30 000 + 117 720 = 147 720 J; 70 632 J; 147 720 − 70 632 = 77 088 J.
Vollständige Lösung
Ekin(Start) = ½ · 600 · 10² = 30 000 J; Epot(Start) = 600 · 9,81 · 20 = 117 720 J → Eges = 147 720 J.
Bei 12 m: Epot = 600 · 9,81 · 12 = 70 632 J, also Ekin = 147 720 − 70 632 = 77 088 J. Kontrolle: Die Summe der beiden Energien ist an jedem Punkt 147 720 J.
1 2 3 20 m12 m7 m Start mit 10 m/s
Die Achterbahnstrecke
A9
Achterbahn — Abschlusshügel in km/h
AFB II

Derselbe Wagen erreicht den Abschlusshügel ③ in 7 m Höhe. Die Gesamtenergie beträgt weiterhin 147 720 J.

a) Berechne Ekin dort. b) Berechne die Geschwindigkeit in km/h (eine Nachkommastelle).

J
km/h
Ansatz: Erst Epot bei 7 m, dann Ekin = Eges − Epot, dann nach v umstellen. Von m/s auf km/h: mal 3,6.
Rechenweg: Epot = 600 · 9,81 · 7 = 41 202 J. Ekin = 147 720 − 41 202. v = √((2 · Ekin) : 600), dann · 3,6.
Lösung: Ekin = 106 518 J; v = √355,06 ≈ 18,84 m/s ≈ 67,8 km/h.
Vollständige Lösung
Epot = 600 · 9,81 · 7 = 41 202 J → Ekin = 147 720 − 41 202 = 106 518 J. v = √((2 · 106 518) : 600) = √355,06 ≈ 18,84 m/s = 67,8 km/h. Falle: 18,84 m/s sind nicht 18,84 km/h.
18,84 m/s · 3,6 ? km/h 45 km/h = 12,5 m/s (Gegenprobe)
m/s und km/h
A10
Der Wagen am Abhang
AFB II

Ein Auto (1650 kg) rollt aus dem Stillstand einen 2,5 m hohen Abhang hinunter. Alle Reibungskräfte werden vernachlässigt.

a) Berechne die potenzielle Energie oben. b) Berechne die Geschwindigkeit am unteren Ende (eine Nachkommastelle).

J
m/s
Ansatz: Alle drei Werte stehen schon in Grundeinheiten. Die gesamte potenzielle Energie wird zu kinetischer Energie: Ekin = Epot.
Rechenweg: Epot = 1650 · 9,81 · 2,5. Dann v = √((2 · Ekin) : 1650) = √49,05.
Lösung: Epot = 40 466,25 J ≈ 40,5 kJ; v ≈ 7,0 m/s (rund 25 km/h).
Vollständige Lösung
Epot = 1650 kg · 9,81 m/s² · 2,5 m = 40 466,25 J ≈ 40,5 kJ.
v = √((2 · 40 466,25) : 1650) = √49,05 ≈ 7,0 m/s (rund 25 km/h). Ausblick: Setzt man Epot = m · g · h ein, kürzt sich m heraus — v = √(2 · g · h). Genau das ist Teilaufgabe c) in AFB III.
2,5 m m = 1650 kg, Start aus dem Stillstand
Der Wagen am Abhang

Reflexion — bevor du weitergehst

Drei Fragen zum Nachdenken — antworte für dich selbst.

  • 1. Mehrere Schritte:Bei welcher Aufgabe hast du den Überblick über die Zwischenwerte verloren? Hilft es dir, jeden Schritt einzeln mit Einheit zu notieren?
  • 2. Umrechnungen:Vier Umrechnungen kamen vor: t → kg, kJ → J, cm → m und m/s → km/h. Welche musstest du nachschlagen — und wie merkst du sie dir dauerhaft?
  • 3. Bilanz statt Formel:In A8 und A9 war Ekin = Eges − Epot gefragt, in A6 und A7 dagegen Ekin = Epot. Woran erkennst du, welcher der beiden Ansätze gilt?