Probe­klausur — Energie

a) E_kin = ½ · 85 · 10² = 4250 J

b) E_kin = ½ · 1200 · 10² = 60 000 J = 60 kJ

c) E_Spann = ½ · 20 · 0,64 = 6,4 J

d) E_Spann = ½ · 500 · 0,01 = 2,5 J

e) E_pot = 40 · 9,81 · 10 = 3924 J

f) E_pot = 60 · 9,81 · 2 = 1177,2 J

Bewegungsenergie → E = ½ · m · v² · Spannenergie → E = ½ · D · s² · Lageenergie → E = m · g · h · Masse → m = (2 · E) : v² · Auslenkung → s = √((2 · E) : D).

Nicht gebraucht: v = √(2 · g · h) gilt nur für den freien Fall aus der Ruhe, und E = m · v² ist gar keine gültige Formel — dort fehlt das ½.

a) 1 t = 1000 kg → 1200 kg

b) · 1000 → 12 800 J

c) · 1000 → 240 J

d) : 100 → 0,2 m

e) 1 N/cm = 100 N/m → 1000 N/m

f) : 3,6 → 12,5 m/s

Falsch sind: „Newton ist die Einheit der Energie“ — Newton ist die Einheit der Kraft, die Energie wird in Joule gemessen. Und: Lageenergie und Spannenergie sind zwei verschiedene Formen; Doppelnamen gibt es nur innerhalb einer Form (Lageenergie = potenzielle Energie).

a) s = 80 cm − 60 cm = 20 cm = 0,2 m. In die Formel geht nicht die Länge der Feder ein, sondern nur die Auslenkung.

b) E_Spann = ½ · 100 · 0,20² = ½ · 100 · 0,04 = 2,00 J

a) m = (2 · 1250) : 10² = 2500 : 100 = 25 kg

b) v = √((2 · 1620) : 40) = √81 = 9 m/s — die Wurzel nicht vergessen.

c) D = (2 · 18) : 0,2² = 36 : 0,04 = 900 N/m

a) 12,8 kJ = 12 800 J und 1,6 t = 1600 kg. v = √((2 · 12 800) : 1600) = √16 = 4 m/s

b) 86,4 kJ = 86 400 J. m = (2 · 86 400) : 12² = 172 800 : 144 = 1200 kg (also 1,2 t)

a) 0,24 kJ = 240 J   b) 200 cm = 2 m

c) D = (2 · 240) : 2² = 480 : 4 = 120 N/m

d) 10 N/cm = 1000 N/m; s² = (2 · 0,2) : 1000 = 0,0004 m², also s = 0,02 m = 2 cm. Die Feder ist sehr hart und wird deshalb nur zwei Zentimeter ausgelenkt.

a)–c) ① 40 · 9,81 · 10 = 3924 J · ② 80 · 9,81 · 5 = 3924 J · ③ 60 · 9,81 · 2 = 1177,2 J

Unten ist h = 0, also gilt E_kin = E_pot und damit v = √((2 · E_pot) : m):

d) √((2 · 3924) : 40) = √196,2 ≈ 14,007 m/s · e) √98,1 ≈ 9,905 m/s · f) √39,24 ≈ 6,264 m/s

Springer ① und ② haben dieselbe Energie, treffen aber verschieden schnell auf: Die Geschwindigkeit hängt nach v = √(2 · g · h) nur von der Höhe ab.

a) Am Start liegen beide Formen vor: E_kin = ½ · 600 · 10² = 30 000 J und E_pot = 600 · 9,81 · 20 = 117 720 J, zusammen 147 720 J. Dieser Wert bleibt während der gesamten Fahrt konstant.

b) E_pot = 600 · 9,81 · 12 = 70 632 J

c) E_kin = E_ges − E_pot = 147 720 − 70 632 = 77 088 J

d) v = √((2 · 77 088) : 600) = √256,96 ≈ 16,03 m/s · 3,6 ≈ 57,7 km/h

a) 600 · 9,81 · 7 = 41 202 J

b) 147 720 − 41 202 = 106 518 J

c) v = √((2 · 106 518) : 600) = √355,06 ≈ 18,84 m/s = 67,8 km/h

Kontrolle: E_pot + E_kin = 147 720 J — die Summe stimmt an jedem Punkt.

a) E_pot = 1650 · 9,81 · 2,5 = 40 466,25 J ≈ 40,5 kJ

b) Da die gesamte Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt wird: v = √((2 · 40 466,25) : 1650) = √49,05 ≈ 7,0 m/s (rund 25 km/h)

Falsch sind: Die Aufprallgeschwindigkeit hängt nach v = √(2 · g · h) gar nicht von der Masse ab — sie bleibt gleich. Und D geht in E_Spann = ½ · D · s² nur einfach ein: doppeltes D bedeutet doppelte Energie, nicht vierfache.

Zur vierfachen Höhe: Weil h unter der Wurzel steht, ergibt der Faktor 4 nur √4 = 2 bei der Geschwindigkeit.

a) m = 2 g = 0,002 kg; E_pot = 0,002 · 9,81 · 4,5 ≈ 0,088 J

b) Die gesamte Spannenergie wurde in Lageenergie umgewandelt: E_Spann = 0,088 29 J. Mit s = 5 cm = 0,05 m folgt D = (2 · 0,088 29) : 0,05² = 0,176 58 : 0,0025 ≈ 70,6 N/m

Weil in Wirklichkeit Energie durch Luftwiderstand und Reibung im Lauf verloren geht, ist der berechnete Wert nur eine untere Abschätzung — die tatsächliche Federkonstante wäre größer.

a) h = (875 : 1000) · 8 m = 7 m — die Punktzahl ist eine Höhenangabe in anderer Verkleidung.

b) E_pot = 2 · 9,81 · 7 = 137,34 J; v = √((2 · 137,34) : 2) = √137,34 ≈ 11,7 m/s

c) 45 : 3,6 = 12,5 m/s   d) E_kin = ½ · 2 · 12,5² = 156,25 J

e) h = 156,25 : (2 · 9,81) ≈ 7,963 m; Punktzahl = (7,963 : 8) · 1000 ≈ 995 Punkte

a) Die 500-Punkte-Marke liegt auf halber Skalenhöhe, also bei h = 4 m: E_pot = 2 · 9,81 · 4 = 78,48 J

b) E_kin = 156,25 − 78,48 = 77,77 J, also v = √((2 · 77,77) : 2) = √77,77 ≈ 8,8 m/s (rund 32 km/h)

Achtung: Hier ist ein Zwischenpunkt gemeint — deshalb E_kin = E_ges − E_pot und nicht E_kin = E_pot.

a) ΔE = m · g · Δh = 5 · 9,81 · 0,40 = 19,62 J   b) 156,25 − 137,34 = 18,91 J

Beurteilung: Die beiden Beträge stimmen fast überein — die größere Ausholhöhe erklärt den Unterschied praktisch vollständig, Aycas Aussage ist bestätigt. Einschränkung: Die Rechnung setzt voraus, dass beide Schläge gleich gut treffen und keine Reibung auftritt; die Differenz von 0,71 J liegt im Rahmen dieser Ungenauigkeiten. Streng genommen zeigt sie nur, dass die Höhendifferenz ausreicht, um den Unterschied zu erklären.

E_pot(22 m) = 600 · 9,81 · 22 = 129 492 J; das ist weniger als 147 720 J, es blieben also 147 720 − 129 492 = 18 228 J und damit v ≈ 7,8 m/s.

Rein energetisch könnte der Wagen die Höhe erreichen. Die Rechnung setzt aber voraus, dass gar keine Reibung auftritt; in Wirklichkeit geht unterwegs Energie in thermische Energie über. Ein Looping in 22 m Höhe wäre daher allenfalls knapp möglich und in der Praxis nicht sicher zu betreiben.