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Textaufgabe: Kinetische Energie

Zwei Sachaufgaben mit gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont — vom Wagen am Abhang bis zum Crashtest.

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Sachaufgabe mit Erwartungshorizont

1

Der Wagen am Abhang

AFB III

Ein Auto (1650 kg) rollt aus dem Stillstand einen 2,5 Meter hohen Abhang herunter (M1). Wir vernachlässigen alle Reibungskräfte und können deshalb davon ausgehen, dass die gesamte potenzielle Energie des Wagens in kinetische Energie umgewandelt wird.

M1Der Wagen am Abhang
2,5 m m = 1650 kg, v = 0 v = ?
  1. Berechnen Sie die potenzielle Energie des Wagens oben am Abhang. Verwenden Sie Epot = m · g · h mit g = 9,81 m/s².
  2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die der Wagen am unteren Ende des Abhangs besitzt.
  3. Erklären Sie, warum die Masse des Wagens am Ergebnis von Teilaufgabe b) nichts ändert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Alle drei Werte stehen schon in Grundeinheiten: 1650 kg, 9,81 m/s², 2,5 m.„Berechnen“ verlangt den Rechenweg und die Einheit, nicht nur die Zahl.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die gesamte potenzielle Energie wird zu kinetischer Energie: Ekin = Epot. Stellen Sie Ekin = ½ · m · v² nach v um.Zwei Schritte: erst gleichsetzen, dann umstellen — die Wurzel nicht vergessen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie in v = √((2 · Epot) : m) für Epot den Ausdruck m · g · h ein und kürzen Sie.„Erklären“ heißt: die Ursache nennen — hier steckt sie in einer Rechnung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Epot = m · g · h = 1650 kg · 9,81 m/s² · 2,5 m = 40 466,25 J ≈ 40,5 kJ.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Da die gesamte potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird, gilt Ekin = 40 466,25 J. Umstellen von Ekin = ½ · m · v² nach v ergibt v = √((2 · Ekin) : m) = √((2 · 40 466,25) : 1650) = √49,05 ≈ 7,0 m/s. Antwortsatz: Der Wagen besitzt am unteren Ende des Abhangs eine Geschwindigkeit von etwa 7 m/s (rund 25 km/h).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Setzt man Epot = m · g · h in die umgestellte Formel ein, so erhält man v = √((2 · m · g · h) : m) = √(2 · g · h). Die Masse kürzt sich vollständig heraus. Ursache: Eine größere Masse speichert zwar mehr Lageenergie, benötigt für dieselbe Geschwindigkeit aber auch genau im selben Verhältnis mehr kinetische Energie. Beide Effekte heben sich auf — ein schwerer und ein leichter Wagen kommen (ohne Reibung) gleich schnell unten an.

2

Der Crashtest

AFB II

Bei einem Crashtest fährt ein Auto (1200 kg) mit 50 km/h gegen ein festes Hindernis (\(g=9{,}81\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}\)).

  1. Berechnen Sie die kinetische Energie des Autos.
  2. Bestimmen Sie die kinetische Energie bei 100 km/h, ohne neu einzusetzen.
  3. Ermitteln Sie, aus welcher Höhe das Auto frei fallen müsste, um mit 50 km/h aufzuschlagen.
  4. Erläutern Sie, was Teilaufgabe b) für den Bremsweg bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Geschwindigkeit zuerst in m/s umrechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(E_\text{kin}\sim v^2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(m\,g\,h=\tfrac12 m v^2\) — die Masse kürzt sich.
Hinweis zu Aufgabe d)
Die Bremsen müssen die gesamte kinetische Energie umwandeln.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(v=\tfrac{50}{3{,}6}\,\mathrm{\tfrac ms}\approx13{,}9\,\mathrm{\tfrac ms}\); \(E_\text{kin}=\tfrac12\cdot1200\,\mathrm{kg}\cdot(13{,}9\,\mathrm{\tfrac ms})^2\approx1{,}16\cdot10^{5}\,\mathrm J=116\,\mathrm{kJ}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Doppelte Geschwindigkeit, vierfache Energie: \(4\cdot116\,\mathrm{kJ}\approx463\,\mathrm{kJ}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{(13{,}9\,\mathrm{m/s})^2}{2\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}\approx9{,}8\,\mathrm m\) — etwa ein Sturz aus dem dritten Stock.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Bei gleicher Bremskraft ist der Bremsweg proportional zur umzuwandelnden Energie. Bei doppelter Geschwindigkeit ist er daher viermal so lang.