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Textaufgaben: Arbeit

Lastenaufzug und Expander — mit gestuften Hinweisen und Erwartungshorizont.

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Zwei Sachaufgaben mit Erwartungshorizont

1

Der Lastenaufzug

AFB II

Ein Lastenaufzug hebt eine Palette mit einer Masse von 450 kg gleichmäßig um 12 m nach oben (M1). Reibung im Seilzug wird vernachlässigt; g = 9,81 m/s².

M1Der Lastenaufzug
450 kg 12 m F Hubzeit: 20 s
  1. Berechnen Sie die Kraft, die der Aufzug zum Anheben der Palette mindestens aufbringen muss.
  2. Berechnen Sie die dabei verrichtete Hubarbeit.
  3. Erklären Sie, warum die verrichtete Arbeit genau der Lageenergie entspricht, die die Palette oben besitzt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Beim gleichmäßigen Anheben muss die Zugkraft genauso groß sein wie die Gewichtskraft.„Berechnen“ verlangt Rechenweg und Einheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
W = F · s mit der Kraft aus a) und dem Weg 12 m.Alternativ direkt W = m · g · h — beides ist dasselbe.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie den Term für die Hubarbeit mit dem Term für die Lageenergie.„Erklären“ heißt: den Zusammenhang benennen, nicht nur beide Werte hinschreiben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

F = FG = m · g = 450 kg · 9,81 m/s² = 4414,5 N ≈ 4,41 kN.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

W = F · s = 4414,5 N · 12 m = 52 974 J ≈ 53 kJ. Antwortsatz: Der Aufzug verrichtet eine Hubarbeit von rund 53 kJ.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Hubarbeit lautet W = FG · h = m · g · h; die Lageenergie oben lautet Epot = m · g · h. Beide Terme sind identisch. Der Grund ist inhaltlich: Arbeit ist übertragene Energie. Die vom Motor aufgebrachte Arbeit verschwindet nicht, sondern steckt danach als Lageenergie in der Palette — sie kann beim Herablassen wieder abgegeben werden. Ohne Reibung gilt deshalb ΔEpot = W.

2

Der Expander im Sportunterricht

AFB III

Ein Expander verhält sich wie eine Feder mit der Federkonstante D = 350 N/m. Eine Schülerin zieht ihn aus der Ruhelage um 40 cm auseinander.

  1. Berechnen Sie die Kraft, die am Ende des Zuges wirkt.
  2. Berechnen Sie die dabei verrichtete Spannarbeit.
  3. Erklären Sie, warum das Ergebnis aus b) nicht das Produkt aus der Kraft von a) und 40 cm ist.
  4. Beurteilen Sie die Aussage: „Wenn ich den Expander doppelt so weit ziehe, ist es doppelt so anstrengend.“
Hinweis zu Aufgabe a)
F = D · s, mit s in Metern.40 cm sind 0,4 m — die Umrechnung gehört in den Rechenweg.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Kraft wächst während des Ziehens von 0 auf den Wert aus a). Nutzen Sie W = ½ · D · s².Im F‑s‑Diagramm ist das die Dreiecksfläche.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zeichnen Sie gedanklich das F‑s‑Diagramm und vergleichen Sie Rechteck und Dreieck.„Erklären“ verlangt die Ursache: Warum ist die Rechtecksfläche hier falsch?
Hinweis zu Aufgabe d)
Prüfen Sie getrennt, wie sich die Kraft und wie sich die Arbeit beim Verdoppeln der Auslenkung verändern.„Beurteilen“ verlangt ein begründetes Urteil — hier hängt es davon ab, was mit „anstrengend“ gemeint ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

s = 40 cm = 0,4 m, also F = D · s = 350 N/m · 0,4 m = 140 N.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

W = ½ · D · s² = ½ · 350 · 0,4² = ½ · 350 · 0,16 = 28 J. Antwortsatz: Die Schülerin verrichtet eine Spannarbeit von 28 J.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

140 N · 0,4 m ergäbe 56 J — genau doppelt so viel. Der Grund: 140 N ist nur die Endkraft. Am Anfang des Zuges war die Kraft null und ist erst linear angewachsen. Im F‑s‑Diagramm entspricht 140 N · 0,4 m der Rechtecksfläche, die tatsächliche Arbeit aber der Dreiecksfläche darunter — und die ist halb so groß. Gerechnet wird deshalb mit der mittleren Kraft von 70 N.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Beim Verdoppeln der Auslenkung auf 0,8 m verdoppelt sich die Kraft auf 280 N — in diesem Sinn ist die Aussage richtig, denn im Endmoment muss man doppelt so stark ziehen.

Die Arbeit steigt dagegen auf ½ · 350 · 0,8² = 112 J, also auf das Vierfache. Wer mit „anstrengend“ die insgesamt aufgebrachte Energie meint, für den ist die Aussage falsch. Urteil: Die Aussage ist nur für die Kraft im Endpunkt zutreffend; für den Energieaufwand unterscheidet sie sich deutlich, weil s in der Arbeitsformel im Quadrat steht.