Übung — AFB III

Musterlösung: Eine Wärmekraftmaschine gewinnt Arbeit nur daraus, dass sie das Gas auf der heißen Seite ausdehnt und auf der kalten Seite wieder zusammendrückt — bei gleichem Volumen herrscht im heißen Gas der höhere Druck, deshalb liefert die Expansion mehr Arbeit, als die Kompression verbraucht. Die kalte Seite ist damit keine Panne, sondern Bedingung dafür, dass der Motor überhaupt läuft; die dorthin abgegebene Abwärme fällt zwangsläufig an. Rechnerisch steht das in η_max = 1 − T_k:T_h: Der Wert 1 (also 100 %) käme nur bei T_k = 0 K heraus, und 0 K lässt sich nicht erreichen. Reibungsfreiheit hilft nicht — sie verschiebt den realen Wirkungsgrad nur näher an diese Obergrenze heran.

Musterlösung: Aus W = Δp · ΔV folgt ΔV = W : Δp. Zuerst die Einheiten angleichen: 120 J = 1200 bar·cm³, weil 1 bar·cm³ = 0,1 J. Dann ΔV = 1200 bar·cm³ : 4 bar = 300 cm³. Probe: 4 bar · 300 cm³ = 1200 bar·cm³ = 120 J. ✓

Musterlösung: η_max = 1 − T_k:T_h  →  T_k:T_h = 1 − η_max = 0,40  →  T_k = 800 K · 0,40 = 320 K (rund 47 °C). Bewertung: Das ist technisch anspruchsvoll, aber nicht unmöglich — die Abwärme müsste bei knapp 47 °C abgeführt werden. Wichtig ist die Denkrichtung: Ein höherer Wirkungsgrad verlangt entweder eine heißere heiße Seite oder eine kältere kalte Seite.

Musterlösung: (1) Beim ersten Gas-Gesetz ist p · V konstant, also p = konst. : V. Der Druck ist damit umgekehrt proportional zum Volumen: Doppeltes Volumen halbiert den Druck. Solche Wertepaare liegen auf einer Hyperbel — einer gekrümmten Kurve, nie auf einer Geraden. (2) Beim zweiten Gas-Gesetz ist V:T konstant, also V = konst. · T. Das ist direkte Proportionalität: Verdoppelte Temperatur verdoppelt das Volumen. Die zugehörige Gerade geht durch den Ursprung, weil zu T = 0 K das Volumen 0 gehört — genau deshalb wird in Kelvin gerechnet. (3) Bei einer isochoren Zustandsänderung bleibt V unverändert. Im V-p-Diagramm bewegt man sich deshalb nur nach oben oder unten — eine senkrechte Linie. Weil ΔV = 0 ist, wird dort auch keine Volumenarbeit verrichtet.

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Zwar steht im breiten Gefäß tatsächlich mehr Wasser, doch diese größere Gewichtskraft verteilt sich auch auf eine entsprechend größere Bodenfläche. In der Herleitung sieht man das direkt: p = F:A, mit F = m·g, m = V·ρ und V = A·h wird daraus p = (A · h · ρ · g) : A = h · ρ · g — die Fläche A kürzt sich vollständig heraus und steht in der Endformel nicht mehr. Beide Gefäße zeigen deshalb in gleicher Tiefe denselben Schweredruck: p = 2,0 m · 1000 kg/m³ · 9,81 m/s² = 19 620 Pa. Was der Schüler richtig erkannt hat: Die Kraft auf den Boden ist im breiten Gefäß größer. Kraft und Druck sind aber nicht dasselbe.

Musterlösung: Es handelt sich um ein Perpetuum mobile der 2. Art. Die Energieerhaltung wird nicht verletzt — der Erfinder hat recht, dass im Meer eine gewaltige innere Energie steckt, und er will sie ja nicht aus dem Nichts erzeugen, sondern entnehmen. Das Schiff scheitert an etwas anderem: Es müsste Wärme vollständig in Arbeit umwandeln. Nach η_max = 1 − T_k:T_h geht das nur mit einer kälteren Seite, an die Abwärme abgegeben wird. Das Meer hat aber überall annähernd dieselbe Temperatur, also ist T_h ≈ T_k und damit η_max ≈ 0. Die Energie im Meer ist entwertet: reichlich vorhanden, aber nicht mehr nutzbar. Fazit: Der Vorschlag ist physikalisch unmöglich, und zwar nicht wegen der Energiemenge, sondern wegen des fehlenden Temperaturunterschieds.

Musterlösung: a) η_A = 1 − 300 K : 600 K = 0,50 = 50 %. b) η_B = 1 − 900 K : 1200 K = 0,25 = 25 %. Obwohl beide Maschinen denselben Temperaturunterschied von 300 K haben, erreicht B nur die Hälfte. Der Grund steht in der Formel: Dort taucht das Verhältnis T_k:T_h auf, nicht die Differenz T_h − T_k. Bei B ist die kalte Seite mit 900 K bereits sehr nah an der heißen — relativ gesehen ist der Sprung klein. Praktische Folge: Um den Wirkungsgrad zu steigern, hilft es mehr, die kalte Seite abzusenken, als die heiße um denselben Betrag anzuheben.

Musterlösung (ein möglicher Entwurf): Gefordert sind 60 J = 600 bar·cm³. Wähle Δp = 2 bar und ΔV = 300 cm³, denn 2 · 300 = 600. Eckpunkte: 1 (100 cm³ | 3 bar) → 2 (400 cm³ | 3 bar) isobare Expansion, 2 → 3 (400 cm³ | 1 bar) isochore Abkühlung, 3 → 4 (100 cm³ | 1 bar) isobare Kompression, 4 → 1 isochore Erwärmung. Der Umlauf führt im Uhrzeigersinn — die Maschine gibt also Arbeit ab.

Kontrolle: Abgegeben bei 1→2: 3 bar · 300 cm³ = 900 bar·cm³. Aufgewendet bei 3→4: 1 bar · 300 cm³ = 300 bar·cm³. Die isochoren Schritte leisten nichts, weil dort ΔV = 0 ist. Nutzarbeit = 900 − 300 = 600 bar·cm³ = 60 J. ✓ Andere Zahlenpaare (z. B. Δp = 3 bar und ΔV = 200 cm³) sind genauso richtig.

Physikalisch klar: Bei 35 kWh Strom und 55 kWh Wärme braucht die getrennte Erzeugung 35:0,45 + 55:0,90 = 77,8 + 61,1 = 138,9 kWh Brennstoff, das BHKW dagegen 35:0,35 = 100 kWh und liefert daraus zugleich 55 kWh Wärme. Das sind rund 28 % weniger Brennstoff und entsprechend weniger CO₂. Der Gesamtnutzungsgrad steigt von etwa 45 % auf 35 % + 55 % = 90 %.

Einschränkung — die Werbung verschweigt eine Bedingung: Der Vorteil entsteht nur, wenn die Wärme wirklich gebraucht wird. Der elektrische Wirkungsgrad eines BHKW ist mit 35 % schlechter als der eines großen Kraftwerks mit 45 %. Ohne Wärmebedarf schrumpft der Vorteil auf null. Eine Schule hat im Sommer und in den Ferien kaum Wärmebedarf — anders als ein Schwimmbad oder Krankenhaus.

Nicht-physikalische Anteile: Ob sich der Bau lohnt, entscheiden Anschaffungskosten, Brennstoffpreise, Lebensdauer und Wartung — das sind ökonomische Fragen. Ob er gewollt ist, hängt an Lärm, Platzbedarf, Abhängigkeit von Erdgas und daran, ob man für 20 Jahre in fossile Technik investieren will — das sind gesellschaftliche Abwägungen. Die Physik sagt, wie viel Brennstoff jeder Weg braucht; sie sagt nicht, was die Schule tun soll.

Mögliches Fazit: Als Übergangslösung bei hohem, gleichmäßigem Wärmebedarf sinnvoll. Für eine Schule mit Sommerpause und geplanter Wärmepumpe kann die Entscheidung anders ausfallen — und das ist dann keine physikalische Frage mehr.

a) Richtige Rechnung: 20 °C = 293 K und 37 °C = 310 K. Volumen konstant, also p₁:T₁ = p₂:T₂ und damit p₂ = 2,50 bar · 310 K : 293 K ≈ 2,645 bar. Der Reifen steigt also um knapp 6 %, nicht um 85 %.

b) Der Fehler: Die Celsius-Skala hat einen willkürlich verschobenen Nullpunkt — 0 °C ist der Gefrierpunkt von Wasser, nicht der Zustand „keine Bewegungsenergie“. Verhältnisse von Celsius-Werten sind deshalb bedeutungslos: 37 °C ist nicht „fast doppelt so warm“ wie 20 °C. Die Gasgesetze beruhen aber genau auf solchen Verhältnissen, weil die zugehörigen Geraden durch den Ursprung laufen. Nur die Kelvin-Skala beginnt dort, wo die Teilchenbewegung tatsächlich aufhört — deshalb muss in allen drei Gasgesetzen Kelvin stehen. Extremfall: Bei 0 °C würde man in p₁:T₁ sogar durch null teilen.