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Übung — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus Druck, Gasgesetzen, Kreisprozess und Wirkungsgrad — jede braucht mehrere Schritte und den Übersetzungsschritt in die reale Situation.

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Aufgabenblock — AFB II

10 Sachaufgaben aus den Abschnitten 3.1 bis 3.4. Jede Aufgabe braucht mehrere Schritte und einen Übersetzungsschritt in die reale Situation — zuerst musst du entscheiden, welche Größe konstant bleibt und welches Gesetz damit gilt. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Schneeschuh oder Absatz
AFB II

Eine Person mit der Masse m = 60 kg steht auf frischem Schnee. Mit Schneeschuhen beträgt die Auflagefläche insgesamt A = 0,30 m².

a) Berechne die Gewichtskraft F (g = 9,81 m/s²). b) Berechne den Druck auf den Schnee.

N
Pa
Ansatz: Erst die Masse in eine Kraft umrechnen (F = m · g), dann diese Kraft durch die Fläche teilen (p = F : A). 60 kg sind keine 60 N.
Rechenweg: F = 60 kg · 9,81 m/s² = 588,6 N. p = 588,6 N : 0,30 m² = 1962 Pa.
Lösung: a) 588,6 N   b) 1962 Pa (rund 0,02 bar).
Vollständige Lösung
F = m · g = 60 · 9,81 = 588,6 N. p = F : A = 588,6 N : 0,30 m² = 1962 Pa. Zum Vergleich: Auf schmalen Absätzen mit nur 0,0005 m² wären es 1 177 200 Pa — dieselbe Kraft, aber der 600-fache Druck. Deshalb sinkt man mit Schneeschuhen nicht ein.
588,6 N 588,6 N große Fläche kleine Fläche
Gleiche Kraft, verschiedene Flächen
A2
Taucher in 20 m Tiefe
AFB II

Ein Taucher befindet sich 20 m tief in Wasser (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²). An der Wasseroberfläche herrscht der Luftdruck 1013 hPa.

a) Berechne den Schweredruck des Wassers. b) Berechne den Gesamtdruck auf den Taucher.

Pa
Pa
Ansatz: Der Schweredruck ist p = h · ρ · g. Der Luftdruck kommt oben drauf — erst in Pascal umrechnen: 1013 hPa = 101 300 Pa.
Rechenweg: pWasser = 20 · 1000 · 9,81 = 196 200 Pa. Dazu 101 300 Pa Luftdruck: 196 200 + 101 300 = 297 500 Pa.
Lösung: a) 196 200 Pa   b) 297 500 Pa (rund 2,98 bar).
Vollständige Lösung
a) p = h · ρ · g = 20 m · 1000 kg/m³ · 9,81 m/s² = 196 200 Pa. b) Über dem Wasser steht zusätzlich die Luftsäule: 1013 hPa = 101 300 Pa. Gesamt: 196 200 + 101 300 = 297 500 Pa ≈ 2,98 bar. Alle 10 m Wasser bringen rund 1 bar dazu.
Luft: 1013 hPa 20 m pₕₑₛ = pₖₖₛₛₑₕ + pₗₕₖₛₜ
Luftdruck plus Schweredruck
A3
Kolbenprober zusammendrücken
AFB II

In einem Kolbenprober sind V1 = 100 cm³ Luft bei p1 = 1,0 bar eingeschlossen. Die Temperatur bleibt konstant. Der Kolben wird auf V2 = 40 cm³ hineingeschoben.

a) Berechne den neuen Druck. b) Um wie viel bar ist der Druck gestiegen?

bar
bar
Ansatz: Welche Größe bleibt konstant? Die Temperatur → erstes Gas-Gesetz p1·V1 = p2·V2. Bei b) ist die Differenz gefragt, nicht der Endwert.
Rechenweg: p2 = (1,0 bar · 100 cm³) : 40 cm³ = 2,5 bar. Differenz: 2,5 bar − 1,0 bar = 1,5 bar.
Lösung: a) 2,5 bar   b) 1,5 bar mehr als vorher.
Vollständige Lösung
a) Die Temperatur ist konstant, also gilt p1·V1 = p2·V2: p2 = (1,0 · 100) : 40 = 2,5 bar. Die Einheiten bar und cm³ dürfen stehen bleiben, weil auf beiden Seiten dieselben stehen. b) Δp = 2,5 − 1,0 = 1,5 bar. Kontrolle: Das Volumen wurde auf 40 % verkleinert, der Druck ist auf das 2,5-fache gestiegen — das Produkt p·V bleibt 100.
V p 2,5 bar / 40 cm³ 1,0 bar / 100 cm³
Isotherme Kompression
A4
Heißluftballon — wie viel Luft entweicht?
AFB II

Ein Heißluftballon fasst V1 = 2000 m³ Luft bei 0 °C. Der Brenner erwärmt die Luft auf 100 °C. Der Druck bleibt konstant (die Öffnung unten ist offen).

a) Welches Volumen hätte die Luft bei 100 °C? b) Wie viel Luft entweicht dabei unten aus dem Ballon?

m³
m³
Ansatz: Der Druck ist konstant → zweites Gas-Gesetz V1:T1 = V2:T2. Erst beide Temperaturen in Kelvin: 0 °C = 273,15 K, 100 °C = 373,15 K.
Rechenweg: V2 = (2000 m³ · 373,15 K) : 273,15 K ≈ 2732,6 m³. Entwichen ist die Differenz: 2732,6 − 2000 = 732,6 m³.
Lösung: a) rund 2733 m³   b) rund 733 m³ entweichen.
Vollständige Lösung
a) Konstanter Druck → V1:T1 = V2:T2. Mit T1 = 273,15 K und T2 = 373,15 K: V2 = 2000 · 373,15 : 273,15 ≈ 2732,6 m³. b) Der Ballon selbst bleibt gleich groß — die zusätzliche Luft muss unten heraus: 2732,6 − 2000 = 732,6 m³. Genau deshalb wird der Ballon leichter und steigt.
0 °C → 100 °C V : T = konstant · p bleibt gleich
Isobare Ausdehnung
A5
Fahrradreifen in der Sonne
AFB II

Ein Fahrradreifen wird morgens bei 20 °C auf 2,50 bar aufgepumpt. Mittags erwärmt sich die Luft im Reifen auf 37 °C. Das Volumen des Reifens ändert sich praktisch nicht.

a) Berechne den Druck bei 37 °C. b) Um wie viel Prozent ist der Druck gestiegen?

bar
%
Ansatz: Das Volumen bleibt konstant → drittes Gas-Gesetz p1:T1 = p2:T2. In Kelvin: 20 °C = 293 K, 37 °C = 310 K.
Rechenweg: p2 = (2,50 bar · 310 K) : 293 K ≈ 2,645 bar. Anstieg: (2,645 : 2,50 − 1) · 100 % ≈ 5,8 %.
Lösung: a) rund 2,65 bar   b) rund 5,8 % mehr.
Vollständige Lösung
a) Starrer Reifen → V konstant → p1:T1 = p2:T2. p2 = 2,50 · 310 : 293 ≈ 2,645 bar. b) Das Verhältnis 2,645 : 2,50 = 1,058, also +5,8 %. Hätte man mit °C gerechnet (37 : 20), käme ein Anstieg von 85 % heraus — grober Unsinn.
T p 293 K 310 K p : T = konst.
Isochore Erwärmung
A6
Zwei Eckpunkte des Stirling-Prozesses
AFB II

Im idealen stirlingschen Kreisprozess hat Zustand 3 die Werte V3 = 300 cm³, p3 = 1 bar, T = 300 K. Von 3 nach 4 wird das Gas isotherm auf V4 = 100 cm³ zusammengedrückt.

a) Berechne p4. b) Berechne das Produkt p·V auf der heißen Isotherme, wenn dort V1 = 100 cm³ und p1 = 6 bar gilt.

bar
bar·cm³
Ansatz: „Isotherm“ heißt: Temperatur konstant → erstes Gas-Gesetz p3·V3 = p4·V4. Für b) einfach p1 · V1 ausrechnen.
Rechenweg: p4 = (1 bar · 300 cm³) : 100 cm³ = 3 bar. b) 6 bar · 100 cm³ = 600 bar·cm³.
Lösung: a) 3 bar   b) 600 bar·cm³.
Vollständige Lösung
a) Die kalte Isotherme liegt bei p·V = 1 · 300 = 300. Also p4 = 300 : 100 = 3 bar. b) Auf der heißen Isotherme ist p·V = 6 · 100 = 600 bar·cm³ — doppelt so groß wie auf der kalten, passend zu Th = 600 K und Tk = 300 K. Genau dieser Unterschied liefert die Nutzarbeit.
V p 1234 Tₕ = 600 K Tₖ = 300 K
Zwei Isothermen, zwei Isochoren
A7
Vom Arbeitsdiagramm zur Leistung
AFB II

Ein Rechteckprozess schließt im Arbeitsdiagramm 18 Kästchen ein. Jedes Kästchen ist 1 bar breit und 50 cm³ hoch.

a) Berechne die Nutzarbeit pro Umlauf in Joule. b) Der Motor läuft mit 20 Umläufen pro Sekunde. Berechne seine Leistung.

J
W
Ansatz: Ein Kästchen entspricht 1 bar · 50 cm³. Rechne das zuerst in Joule um (1 bar·cm³ = 0,1 J), dann mal 18. Leistung ist Arbeit pro Sekunde.
Rechenweg: 1 bar · 50 cm³ = 50 bar·cm³ = 5 J je Kästchen. 18 · 5 J = 90 J. P = 20 · 90 J : 1 s = 1800 W.
Lösung: a) 90 J pro Umlauf   b) 1800 W = 1,8 kW.
Vollständige Lösung
a) Ein Kästchen: 1 bar · 50 cm³ = 50 bar·cm³ = 5 J. 18 Kästchen ergeben 90 J. Kontrolle über die direkte Rechnung: Δp · ΔV = 3 bar · 300 cm³ = 900 bar·cm³ = 90 J. b) P = W : t = 20 · 90 J : 1 s = 1800 W. Aus der Fläche im Diagramm wird also direkt die Leistung der Maschine.
V p 18 Kästchen 1 Kästchen = 1 bar · 50 cm³ = 5 J
Fläche auszählen
A8
Kohlekraftwerk — Grenze und Wirklichkeit
AFB II

Ein Kohlekraftwerk arbeitet zwischen Th = 870 K und Tk = 300 K. Real erreicht es einen Wirkungsgrad von 45 %.

a) Berechne den maximalen Wirkungsgrad in Prozent (eine Nachkommastelle). b) Wie viel Arbeit gewinnt das Kraftwerk real aus 1000 J zugeführter Wärme?

%
J
Ansatz: ηmax = 1 − Tk : Th. Für b) den realen Wirkungsgrad verwenden: W = η · Qzu.
Rechenweg: ηmax = 1 − 300 : 870 = 0,6552 ≈ 65,5 %. W = 0,45 · 1000 J = 450 J.
Lösung: a) 65,5 %   b) 450 J.
Vollständige Lösung
a) ηmax = 1 − 300 K : 870 K = 0,655 = 65,5 %. Das ist die theoretische Obergrenze — mehr ist grundsätzlich nicht möglich. b) Real: W = η · Qzu = 0,45 · 1000 J = 450 J. Die restlichen 550 J gehen als Abwärme weg — ein Teil davon zwangsläufig, der Rest durch Reibung und Wärmeverluste.
theoretisch möglich 65,5 % real erreicht 45 % grün = Arbeit · rot = Abwärme
Obergrenze und Wirklichkeit
A9
BHKW oder getrennte Erzeugung?
AFB II

Eine Schule braucht 35 kWh Strom und 55 kWh Wärme. Rechne mit: Kraftwerk η = 45 %, Heizkessel η = 90 %; BHKW ηel = 35 % und ηtherm = 55 %.

a) Wie viel Brennstoff braucht die getrennte Erzeugung? b) Wie viel Prozent Brennstoff spart das BHKW?

kWh
%
Ansatz: Brennstoff = Nutzen : Wirkungsgrad. Rechne beide Anteile einzeln und addiere. Das BHKW erzeugt beides aus einer Brennstoffmenge: 35 kWh : 0,35 = 100 kWh.
Rechenweg: 35 : 0,45 = 77,8 kWh und 55 : 0,90 = 61,1 kWh, zusammen 138,9 kWh. BHKW: 100 kWh. Ersparnis: 1 − 100 : 138,9 ≈ 0,28 = 28 %.
Lösung: a) rund 139 kWh   b) rund 28 % weniger Brennstoff.
Vollständige Lösung
a) Strom: 35 kWh : 0,45 = 77,8 kWh. Wärme: 55 kWh : 0,90 = 61,1 kWh. Zusammen 138,9 kWh ≈ 139 kWh. b) Das BHKW braucht 35 kWh : 0,35 = 100 kWh und liefert daraus zugleich 0,55 · 100 kWh = 55 kWh Wärme — also genau den Bedarf. Ersparnis: 1 − 100 : 138,9 ≈ 28 %. Der Gesamtnutzungsgrad steigt von 45 % auf 35 % + 55 % = 90 %.
getrennt: 139 kWh BHKW: 100 kWh −28 % gleiche Menge Strom und Wärme
Brennstoffbedarf im Vergleich
A10
Gymnastikball — Druck aus der Auflagefläche
AFB II

Eine Person mit m = 60 kg stellt sich auf einen Gymnastikball. Die Kontaktfläche zwischen Füßen und Ball beträgt A = 200 cm².

a) Rechne die Fläche in m² um. b) Berechne den Druck auf die Ballwand in Pascal.

m²
Pa
Ansatz: Bei Flächen wird der Umrechnungsfaktor quadriert: 1 m² = 10 000 cm². Danach F = m · g und p = F : A.
Rechenweg: 200 cm² : 10 000 = 0,02 m². F = 60 · 9,81 = 588,6 N. p = 588,6 : 0,02 = 29 430 Pa.
Lösung: a) 0,02 m²   b) 29 430 Pa (rund 0,29 bar).
Vollständige Lösung
a) 200 cm² = 200 : 10 000 m² = 0,02 m² — nicht 2 m² und nicht 0,2 m². b) F = 60 kg · 9,81 m/s² = 588,6 N, also p = 588,6 N : 0,02 m² = 29 430 Pa. Der Ball drückt mit demselben Druck zurück — das ist der „Widerstand gegen die Verkleinerung des Raumes“ aus Abschnitt 3.1.1.
F = 588,6 N A = 200 cm² Der Ball drückt mit p zurück
Kontaktfläche und Druck

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 AFB-II-Aufgaben?