Probe-Klassenarbeit

a) p = 60 N : 3 m² = 20 Pa

b) F = 20 kg · 9,81 m/s² = 196,2 N

c) p = 10 · 1000 · 9,81 = 98 100 Pa

d) 3 · 100 000 = 300 000 Pa

e) 27 + 273,15 = 300,15 K

f) η_max = 1 − 250 : 500 = 0,5 = 50 %

Druck → p = F : A  ·  Schweredruck → p = h · ρ · g

Erstes Gas-Gesetz → p₁·V₁ = p₂·V₂ (T konstant)  ·  Zweites Gas-Gesetz → V₁:T₁ = V₂:T₂ (p konstant)

Volumenarbeit → W = p · ΔV

Nicht gebraucht: p₁:T₁ = p₂:T₂ (drittes Gas-Gesetz), F = m · a und η_max = 1 − T_k:T_h.

a) 1 bar = 100 000 Pa → 200 000 Pa

b) 1 hPa = 100 Pa → 50 000 Pa

c) 1 m² = 10 000 cm² → 150 : 10 000 = 0,015 m²

d) 0,1 J — deshalb sind 900 bar·cm³ genau 90 J.

Richtig: feste Gasmenge, T in Kelvin, jeweils eine Zustandsgröße konstant.

Falsch: Die Gesetze gelten für jedes Gas, das sich wie ein ideales Gas verhält. Entweicht Gas, ändert sich N und keines der Gesetze gilt mehr. Und im ersten Gas-Gesetz dürfen bar und Liter stehen bleiben — solange auf beiden Seiten dieselbe Einheit steht, kürzt sie sich heraus.

Die Flasche ist starr, also bleibt das Volumen konstant (isochore Zustandsänderung). Damit gilt das dritte Gas-Gesetz: p₁ : T₁ = p₂ : T₂. Der Druck steigt mit der Temperatur, weil die Teilchen häufiger und heftiger gegen dieselben Wände stoßen.

a) Bei konstanter Temperatur ist p · V konstant, also p = konstant : V. Das ergibt eine gekrümmte Kurve (Hyperbel), nie eine Gerade.

b) Im Uhrzeigersinn gibt die Maschine Arbeit ab — das kennzeichnet den Motor. Gegen den Uhrzeigersinn muss man Arbeit hineinstecken; das ist eine Kältemaschine oder Wärmepumpe. Ohne Pfeile im Diagramm lassen sich beide nicht unterscheiden, denn die Fläche ist gleich groß.

a) p = h · ρ · g = 15 m · 1000 kg/m³ · 9,81 m/s² = 147 150 Pa

b) 1013 hPa = 101 300 Pa. Gesamt: 147 150 + 101 300 = 248 450 Pa

c) 248 450 : 100 000 = 2,4845 bar ≈ 2,48 bar. Faustregel: Alle 10 m Wasser bringen rund 1 bar dazu.

a) Konstante Temperatur → erstes Gas-Gesetz: p₂ = (p₁ · V₁) : V₂ = (1,0 bar · 250 cm³) : 100 cm³ = 2,5 bar. Die Einheiten bar und cm³ dürfen stehen bleiben.

b) Die Temperatur. „Langsam“ heißt hier: Die Luft kann die Kompressionswärme abgeben, die Temperatur bleibt auf Zimmerniveau.

a) In Kelvin: T₁ = 273,15 K, T₂ = 363,15 K. Konstanter Druck → V₁:T₁ = V₂:T₂, also V₂ = 2000 m³ · 363,15 K : 273,15 K ≈ 2659 m³

b) Der Ballon selbst bleibt gleich groß, die zusätzliche Luft muss unten heraus: 2659 − 2000 = 659 m³. Gefragt war die Differenz, nicht der Endwert — genau deshalb wird der Ballon leichter und steigt.

a) In Kelvin: 288,15 K und 313,15 K. Konstantes Volumen → p₁:T₁ = p₂:T₂, also p₂ = 2,80 bar · 313,15 K : 288,15 K ≈ 3,04 bar

b) 3,043 : 2,80 = 1,0868, also rund 8,7 % mehr. Hätte man mit °C gerechnet (40 : 15), käme ein Anstieg von 167 % heraus — grober Unsinn.

a) W = Δp · ΔV = 2 bar · 400 cm³ = 800 bar·cm³. Mit 1 bar·cm³ = 0,1 J sind das 80 J.

b) P = 25 · 80 J : 1 s = 2000 W = 2 kW. Aus der Fläche im Diagramm wird also direkt die Leistung der Maschine.

a) η_max = 1 − 350 K : 1100 K = 0,682 = 68,2 %

b) W = η · Q_zu = 0,30 · 2000 J = 600 J. Die restlichen 1400 J gehen als Abwärme weg.

c) η_max ist eine Obergrenze für die ideale Maschine. Reibung, Wärmeverluste und undichte Stellen drücken den realen Wert darunter. Größe und Bauart ändern die Obergrenze nicht — die hängt allein an den beiden Temperaturen.

a) Isotherm heißt: erstes Gas-Gesetz. p₃·V₃ = 1 · 300 = 300, also p₄ = 300 : 100 = 3 bar

b) p₁ · V₁ = 6 bar · 100 cm³ = 600 bar·cm³ — doppelt so groß wie auf der kalten Isotherme, passend zu T_h = 600 K gegenüber T_k = 300 K. Genau dieser Unterschied liefert die Nutzarbeit.

a) Strom: 40 : 0,45 = 88,9 kWh. Wärme: 60 : 0,90 = 66,7 kWh. Zusammen 155,6 kWh.

b) Das BHKW braucht 40 : 0,35 = 114,3 kWh und liefert daraus zugleich 0,55 · 114,3 = 62,9 kWh Wärme — mehr als die gebrauchten 60 kWh. Ersparnis: 1 − 114,3 : 155,6 ≈ 26,5 %. Der Gesamtnutzungsgrad steigt von 45 % auf 35 % + 55 % = 90 %.

Aus η_max = 1 − T_k:T_h folgt T_k:T_h = 1 − 0,55 = 0,45, also T_k = 900 K · 0,45 = 405 K (rund 132 °C).

Denkrichtung: Ein höherer Wirkungsgrad verlangt entweder eine heißere heiße Seite oder eine kältere kalte Seite. Da die kalte Seite meist von der Umgebung vorgegeben ist, geht man in der Technik über T_h.

a) η_A = 1 − 400 : 800 = 0,50 = 50 %  ·  b) η_B = 1 − 600 : 1000 = 0,40 = 40 %

c) In η_max = 1 − T_k:T_h steht ein Quotient. Bei B liegt die kalte Seite mit 600 K relativ näher an der heißen (600:1000 = 0,6) als bei A (400:800 = 0,5). Die Differenz allein sagt deshalb nichts über den Wirkungsgrad aus — Reibung, Gasart und Baugröße ändern die theoretische Obergrenze überhaupt nicht.

a) Perpetuum mobile 2. Art. Die Energieerhaltung wird nicht verletzt — die Energie ist ja da. Das Schiff müsste Wärme aber vollständig in Arbeit umwandeln. Weil das ganze Meer annähernd dieselbe Temperatur hat, ist T_h ≈ T_k und damit η_max ≈ 0. Die Energie im Meer ist entwertet: reichlich vorhanden, aber ohne Temperaturunterschied nicht nutzbar.

b) Energie geht nie verloren und wird nie verbraucht — sie wird entwertet: Bei jeder Umwandlung wird ein Teil zu Wärme bei Umgebungstemperatur, und die lässt sich nicht mehr in Arbeit verwandeln.

a) 2,5 bar = 250 000 Pa. Aus p = h · ρ · g folgt h = p : (ρ · g) = 250 000 : (1000 · 9,81) ≈ 25,5 m

b) Bei gleicher Tiefe ändert sich nur die Dichte: p = 25,48 m · 850 kg/m³ · 9,81 m/s² ≈ 212 500 Pa = 2,125 bar. Kurzweg: 850 : 1000 · 2,5 bar = 2,125 bar.

c) In der Herleitung wird V = A · h eingesetzt: p = (A · h · ρ · g) : A = h · ρ · g. Die Fläche kürzt sich heraus und steht in der Endformel nicht mehr. Im breiten Gefäß ist zwar die Kraft auf den Boden größer — sie verteilt sich aber auch auf mehr Fläche.

a) 150 J = 1500 bar·cm³, weil 1 bar·cm³ = 0,1 J. Aus W = Δp · ΔV folgt ΔV = 1500 bar·cm³ : 5 bar = 300 cm³. Probe: 5 · 300 = 1500 bar·cm³ = 150 J ✓

b) Keine. Bei einem isochoren Schritt ist ΔV = 0, also W = p · 0 = 0 J. Im Diagramm sieht man das direkt: Unter einer senkrechten Linie liegt keine Fläche. Ein möglicher Entwurf wäre 1 (100 cm³ | 6 bar) → 2 (400 cm³ | 6 bar) → 3 (400 cm³ | 1 bar) → 4 (100 cm³ | 1 bar) → 1.

Richtig sind vier Aussagen:

• Ohne kalte Seite gibt es keinen Druckunterschied zwischen Expansion und Kompression — die Abwärme fällt zwangsläufig an.

• In η_max = 1 − T_k:T_h stehen nur die beiden Temperaturen.

• Isochor heißt ΔV = 0, also W = 0.

• Die eingeschlossene Fläche ist abgegebene minus aufgewendete Arbeit — nicht die Fläche unter der oberen Kurve allein.

Falsch: Die Baugröße ändert die Obergrenze nicht. Und die Kraft-Wärme-Kopplung umgeht η_max nicht — sie nutzt die Abwärme nur zum Heizen weiter. In Arbeit verwandelt werden weiterhin höchstens 1 − T_k:T_h; die 90 % des BHKW zählen Strom und Wärme zusammen.