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Textaufgaben: Die Nuklidkarte

Fünf Sachaufgaben vom Radon im Keller bis zum Kalium in der Banane — mit Kartenausschnitten, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungAchsen, Farben und die drei Züge noch einmal nachlesen — mit der interaktiven Nuklidkarte.
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Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben brauchst du immer dieselben drei Werkzeuge: \(N=A-Z\), um ein Kästchen zu finden; die beiden Züge im Raster (α: zwei nach links und zwei nach unten, β−: eins nach links und eins nach oben); und die Farbe, die die Zerfallsart nennt. Schreibe zu jedem Ergebnis die Koordinaten \((Z\,|\,N)\) dazu — so lässt sich jeder Schritt an der Karte kontrollieren. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Radon im Keller

AFB I

In vielen Kellern Süddeutschlands sammelt sich das radioaktive Edelgas Radon-222. Es entsteht im Boden aus Radium-226 und ist selbst ein α-Strahler. Material M1 zeigt den passenden Ausschnitt der Nuklidkarte; die Kernladungszahlen sind Po: 84, At: 85, Rn: 86, Fr: 87, Ra: 88.

M1Kartenausschnitt um Radon-222
Po 216 Po 218 Rn 220 Rn 222 Ra 224 Ra 226 Po 84 At 85 Rn 86 Fr 87 Ra 88 132 133 134 135 136 137 138 139 N → Z ↑

Alle sechs eingezeichneten Nuklide sind α-Strahler (gelb). Violett umrandet: Radon-222. Leere Felder gehören zu Nukliden, die hier nicht eingezeichnet sind.

  1. Gib zu Radon-222 die Protonenzahl \(Z\), die Neutronenzahl \(N\) und die Nukleonenzahl \(A\) an und gib an, in welcher Zeile und in welcher Spalte von M1 sein Kästchen steht.
  2. Bestimme das Tochternuklid, das beim α-Zerfall von Radium-226 entsteht, indem du den Zug im Raster ausführst.
  3. Erkläre, warum in diesem Kartenausschnitt kein einziges Kästchen schwarz sein kann.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(Z\) steht am linken Rand, \(N\) unten. Die Nukleonenzahl liest man nicht ab, sondern rechnet sie aus.In der Karte ist \(A\) keine Achse — deshalb steht sie zur Kontrolle klein in jedem Kästchen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der α-Zug lautet: zwei Kästchen nach links und zwei nach unten. Radium-226 sitzt bei \(Z=88\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Schau dir an, welche Kernladungszahlen der Ausschnitt überhaupt zeigt.Ab einer bestimmten Protonenzahl gibt es kein stabiles Nuklid mehr.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(Z=86\), \(A=222\) und damit \(N=A-Z=222-86=136\).

Das Kästchen steht in der Zeile \(Z=86\) (Radon) und in der Spalte \(N=136\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

α-Zerfall: \(Z\) sinkt um 2, \(N\) sinkt um 2, also \(A\) um 4.

\[{}^{226}_{\,88}\mathrm{Ra}\;\longrightarrow\;{}^{222}_{\,86}\mathrm{Rn}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\]

Vom Kästchen \((Z=88\,|\,N=138)\) geht es zwei nach links und zwei nach unten auf \((86\,|\,136)\) — genau das Kästchen von Radon-222.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Ausschnitt zeigt nur Zeilen mit \(Z=84\) bis \(Z=88\). Stabile Nuklide gibt es aber nur bis \(Z=82\) (Blei); ab \(Z=83\) ist jeder Kern radioaktiv. Antwortsatz: Weil alle Zeilen des Ausschnitts oberhalb des Bandes der stabilen Kerne liegen, kann dort kein Kästchen schwarz sein.

2

Die Kette unter dem Radon

AFB II

Radon-222 zerfällt nicht zu einem stabilen Kern, sondern startet eine ganze Kette. Material M2 zeigt fünf Nuklide dieser Kette mit den zugehörigen Zerfallspfeilen — allerdings ohne Beschriftung. Die Kette lautet

\[{}^{218}\mathrm{Po}\;\to\;{}^{214}\mathrm{Pb}\;\to\;{}^{214}\mathrm{Bi}\;\to\;{}^{214}\mathrm{Po}\;\to\;{}^{210}\mathrm{Pb}\]

mit Pb: \(Z=82\), Bi: \(Z=83\), Po: \(Z=84\).

M2Vier Zerfallspfeile ohne Beschriftung
Pb 210 Pb 214 Bi 214 Po 214 Po 218 Pb 82 Bi 83 Po 84 127 128 129 130 131 132 133 134 135 N → Z ↑

Der Weg beginnt rechts oben bei Po-218 und endet links unten bei Pb-210. Farben wie in der Karte: schwarz stabil, gelb α-Strahler, blau β−-Strahler, rot β+-Strahler.

  1. Bestimme für jeden der vier Pfeile in M2 die Zerfallsart und gib sie an.
  2. Gib an, wie viele α- und wie viele β−-Zerfälle die Kette enthält, und prüfe die Bilanz für \(A\) und \(Z\) nach.
  3. Ein Schüler sagt: „Blei-214 und Blei-210 sind dasselbe, sie stehen ja in derselben Zeile.“ Nimm dazu Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche bei jedem Schritt zuerst \(A\): Ändert es sich um 4, war es ein α-Zerfall.Bleibt \(A\) gleich, entscheidet \(Z\): steigt es um 1, war es β−.
Hinweis zu Aufgabe b)
α ändert \(A\) um \(-4\) und \(Z\) um \(-2\), β− ändert \(A\) gar nicht und \(Z\) um \(+1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Was legt die Zeile fest — und was unterscheidet zwei Kästchen innerhalb derselben Zeile?Der Fachbegriff dafür steht im Kapitel 1.2.2.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Pfeil 1: \(218\to214\), \(Z\!: 84\to82\) — α. Pfeil 2: \(A\) bleibt 214, \(Z\!: 82\to83\) — β−. Pfeil 3: \(A\) bleibt 214, \(Z\!: 83\to84\) — β−. Pfeil 4: \(214\to210\), \(Z\!: 84\to82\) — α.

Im Raster erkennt man das auch ohne Rechnung: die beiden langen Schrägzüge nach links unten sind die α-Zerfälle, die beiden kurzen Züge nach links oben die β−-Zerfälle.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zwei α-Zerfälle und zwei β−-Zerfälle.

Bilanz für \(A\): \(218-2\cdot4=210\) ✓. Bilanz für \(Z\): \(84-2\cdot2+2\cdot1=84-4+2=82\) ✓ — das ist Blei.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Die Zeile wird allein durch \(Z\) festgelegt, und \(Z=82\) bedeutet nur: Beide Kerne sind Blei-Atome. Innerhalb der Zeile unterscheiden sich die Kästchen aber in \(N\): Blei-214 hat \(N=132\), Blei-210 hat \(N=128\).

Antwortsatz: Es sind zwei verschiedene Isotope desselben Elements — chemisch gleich, im Kern verschieden. Beide sind radioaktiv, zerfallen aber ganz unterschiedlich schnell: Blei-214 mit einer Halbwertszeit von rund 27 Minuten, Blei-210 erst mit rund 22 Jahren.

3

Das zweifarbige Kästchen

AFB II

Bismut-212 (\(Z=83\)) ist ein besonderer Fall: Sein Kästchen ist in M3 zweifarbig. Rund 64 % dieser Kerne zerfallen über den einen, rund 36 % über den anderen Weg — welcher Weg genommen wird, entscheidet der Zufall. Es gilt Tl: \(Z=81\), Pb: 82, Bi: 83, Po: 84.

M3Bismut-212 und seine beiden Wege
Tl 208 Pb 208 Bi 212 Po 212 Tl 81 Pb 82 Bi 83 Po 84 125 126 127 128 129 130 N → Z ↑

Das Kästchen von Bi-212 ist geteilt. Farben wie in der Karte: schwarz stabil, gelb α-Strahler, blau β−-Strahler, rot β+-Strahler.

  1. Lies aus M3 ab, welche der beiden Zerfallsarten bei Bismut-212 häufiger vorkommt, und begründe deine Antwort.
  2. Bestimme beide Tochternuklide mit ihren Koordinaten \((Z\,|\,N)\).
  3. Weise nach, dass beide Wege nach je zwei Schritten beim selben stabilen Kern enden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Leseregel lautet: Je größer der Flächenanteil einer Farbe, desto wahrscheinlicher diese Zerfallsart.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bismut-212 sitzt bei \((83\,|\,129)\). Führe von dort einmal den α-Zug und einmal den β−-Zug aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Verfolge beide Wege weiter: Auf den α-Zweig folgt ein β−-Zerfall und umgekehrt.Ein Nachweis ist erst vollständig, wenn beide Wege ausgerechnet sind und dasselbe Ergebnis zeigen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der blaue Anteil ist deutlich größer als der gelbe. Blau steht für β−, gelb für α. Antwortsatz: Der β−-Zerfall kommt häufiger vor (rund 64 %), der α-Zerfall seltener (rund 36 %).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

β−-Weg: \((83\,|\,129)\to(84\,|\,128)\), also \({}^{212}_{\,84}\mathrm{Po}\) — Polonium-212.

α-Weg: \((83\,|\,129)\to(81\,|\,127)\), also \({}^{208}_{\,81}\mathrm{Tl}\) — Thallium-208.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Weg 1: \({}^{212}\mathrm{Bi}\xrightarrow{\ \beta^-\ }{}^{212}\mathrm{Po}\xrightarrow{\ \alpha\ }(84-2\,|\,128-2)=(82\,|\,126)\).

Weg 2: \({}^{212}\mathrm{Bi}\xrightarrow{\ \alpha\ }{}^{208}\mathrm{Tl}\xrightarrow{\ \beta^-\ }(81+1\,|\,127-1)=(82\,|\,126)\).

Beide Male ist \(Z=82\) und \(N=126\), also \(A=208\): der stabile Kern \({}^{208}_{\,82}\mathrm{Pb}\) — in M3 das schwarze Kästchen. Der Grund ist einfach: Beide Wege bestehen aus denselben zwei Zügen, nur in vertauschter Reihenfolge, und die Summe der Züge ist von der Reihenfolge unabhängig.

4

Warum es genau vier Reihen gibt

AFB III

Jede natürliche Zerfallsreihe beginnt bei einem sehr langlebigen Kern und endet stabil. Die vier bekannten Reihen starten bei

\[{}^{232}\mathrm{Th},\qquad {}^{237}\mathrm{Np},\qquad {}^{238}\mathrm{U},\qquad {}^{235}\mathrm{U}.\]

In Tabellenwerken tragen sie die Kurznamen \(4n\), \(4n+1\), \(4n+2\) und \(4n+3\).

  1. Berechne für jede der vier Nukleonenzahlen den Rest, der beim Teilen durch 4 bleibt.
  2. Begründe mit Hilfe der beiden Züge, dass dieser Rest entlang einer ganzen Zerfallsreihe unverändert bleibt.
  3. Jemand behauptet, \({}^{209}\mathrm{Bi}\) sei das stabile Ende der Uran-Radium-Reihe (Start \({}^{238}\mathrm{U}\)). Widerlege diese Behauptung.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(232=58\cdot4+r\) — gesucht ist jeweils \(r\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie stark ändert der α-Zerfall die Nukleonenzahl? Und der β−-Zerfall?Ein Vielfaches von 4 zu \(A\) zu addieren oder abzuziehen ändert den Rest bei Division durch 4 nicht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Bestimme den Rest von 209 und vergleiche ihn mit dem Rest von 238.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(232=58\cdot4+0\), Rest 0. \(237=59\cdot4+1\), Rest 1. \(238=59\cdot4+2\), Rest 2. \(235=58\cdot4+3\), Rest 3.

Die vier Reihen decken damit genau die vier möglichen Reste ab — mehr als vier Reihen kann es deshalb nicht geben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der β−-Zerfall lässt \(A\) unverändert; der Rest ändert sich also nicht.

Der α-Zerfall verringert \(A\) um 4. Da 4 selbst durch 4 teilbar ist, bleibt der Rest bei Division durch 4 ebenfalls gleich: aus \(A=4n+r\) wird \(A-4=4(n-1)+r\).

Weil eine Zerfallsreihe nur aus diesen beiden Zugarten besteht, tragen alle ihre Nuklide denselben Rest — er ist gewissermaßen der „Ausweis“ der Reihe.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(209=52\cdot4+1\), also Rest 1. Die Uran-Radium-Reihe startet aber bei \(A=238\) mit Rest 2.

Nach Teilaufgabe b) bleibt dieser Rest entlang der gesamten Reihe erhalten. Ein Kern mit Rest 1 kann in einer Reihe mit Rest 2 also niemals auftreten. Antwortsatz: Die Behauptung ist falsch — \({}^{209}\mathrm{Bi}\) gehört zur Neptunium-Reihe (\(4n+1\)); die Uran-Radium-Reihe endet bei \({}^{206}\mathrm{Pb}\), denn \(206=51\cdot4+2\).

5

Kalium-40 — ein Kern, zwei Richtungen

AFB III

In jedem Menschen zerfallen ständig Kerne von Kalium-40 (\(Z=19\)); das Nuklid steckt in jeder Banane und in jedem Muskel. Es ist eines der wenigen Nuklide, die sowohl β− als auch β+ zerfallen können: rund 89 % der Kerne gehen den blauen, rund 11 % den roten Weg. Material M4 zeigt den Ausschnitt mit Ar: \(Z=18\), K: 19 und Ca: 20.

M4Kalium-40 im Band der stabilen Kerne
Ar 37 Ar 38 Ar 39 Ar 40 Ar 41 K 38 K 39 K 40 K 41 K 42 Ca 39 Ca 40 Ca 41 Ca 42 Ca 43 Ar 18 K 19 Ca 20 19 20 21 22 23 N → Z ↑

Kalium-40 (violett umrandet) liegt mitten im Band. Farben wie in der Karte: schwarz stabil, gelb α-Strahler, blau β−-Strahler, rot β+-Strahler.

  1. Bestimme die Koordinaten \((Z\,|\,N)\) von Kalium-40 sowie der beiden Tochternuklide und beschreibe die beiden Züge in Worten.
  2. Erkläre, warum beide Tochternuklide dieselbe Nukleonenzahl \(A=40\) besitzen wie der Ausgangskern.
  3. Ein Mitschüler behauptet: „Ein Kästchen mit zwei Farben ist ein Fehler in der Karte — ein Kern kann sich schließlich nicht in zwei verschiedene Kerne gleichzeitig verwandeln.“ Nimm begründet dazu Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(N=A-Z\). Der β−-Zug geht eins nach links und eins nach oben, der β+-Zug genau umgekehrt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Was passiert beim β-Zerfall im Kern — und was ändert sich dabei an der Gesamtzahl der Nukleonen?
Hinweis zu Aufgabe c)
Unterscheide zwischen einem einzelnen Kern und einer großen Anzahl von Kernen.Bei einer Stellungnahme gehört ein eigenes, begründetes Urteil dazu — nicht nur eine Beschreibung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Kalium-40: \(Z=19\), \(N=40-19=21\), also \((19\,|\,21)\).

β−-Weg: ein Kästchen nach links und eines nach oben → \((20\,|\,20)\), das ist \({}^{40}_{20}\mathrm{Ca}\) (Calcium-40).

β+-Weg: ein Kästchen nach rechts und eines nach unten → \((18\,|\,22)\), das ist \({}^{40}_{18}\mathrm{Ar}\) (Argon-40).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Beim β−-Zerfall wandelt sich ein Neutron in ein Proton um, beim β+-Zerfall ein Proton in ein Neutron. In beiden Fällen wird ein Nukleon nur umgewandelt, nicht ausgesendet — die Gesamtzahl \(Z+N\) bleibt also gleich.

In der Karte sieht man das direkt: Beide Züge gehen diagonal, das eine Kästchen wird bei \(Z\) dazugezählt und bei \(N\) abgezogen (oder umgekehrt). Kerne mit gleichem \(A\) heißen Isobare und liegen in der Karte auf einer gemeinsamen Diagonalen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung trifft nicht zu, beruht aber auf einer richtigen Beobachtung.

Richtig ist: Ein einzelner Kern zerfällt tatsächlich nur auf genau einem der beiden Wege — entweder zu Calcium-40 oder zu Argon-40, niemals zu beiden. Die zwei Farben beschreiben nicht einen Einzelkern, sondern eine große Zahl von Kernen: Von einer Million Kalium-40-Kernen gehen rund 890 000 den β−-Weg und rund 110 000 den β+-Weg. Welchen Weg ein bestimmter Kern nimmt, ist reiner Zufall.

Eigenes Urteil: Das geteilte Kästchen ist deshalb kein Fehler, sondern im Gegenteil eine sehr kompakte Zusatzinformation — die Flächenanteile geben die Wahrscheinlichkeiten an. Ohne diese Aufteilung müsste man in einer Zerfallsreihe raten, welcher Weg der übliche ist.