Fünf Sachaufgaben vom Zerfallsschema bis zur Altersbestimmung — mit Operatoren, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.
In allen fünf Aufgaben steht dieselbe Kernidee im Mittelpunkt: Beim β-Zerfall wird ein Nukleon umgebaut — A bleibt, Z springt um eins. Darauf bauen Zerfallsgleichungen, Bahnen im Magnetfeld, medizinische Anwendungen und die Altersbestimmung auf. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast. Fahre mit der Maus über die Operatoren, um zu sehen, was jeweils verlangt ist.
Strontium-90 ist eines der bekanntesten Spaltprodukte aus Kernreaktoren. Es zerfällt in zwei Schritten zum stabilen Zirconium-90 (Material M1). Es gilt: Z(Sr) = 38, Z(Y) = 39, Z(Zr) = 40.
Strontium-90 entsteht in Kernreaktoren und wird vom Körper wie Calcium in die Knochen eingebaut.
\( {}^{90}_{38}\mathrm{Sr} \rightarrow {}^{90}_{39}\mathrm{Y} + {}^{\;\;0}_{-1}\mathrm{e} \) und \( {}^{90}_{39}\mathrm{Y} \rightarrow {}^{90}_{40}\mathrm{Zr} + {}^{\;\;0}_{-1}\mathrm{e} \).
Probe für den ersten Schritt: Nukleonenzahl 90 = 90 + 0, Kernladungszahl 38 = 39 + (−1). Für den zweiten Schritt entsprechend 90 = 90 + 0 und 39 = 40 + (−1).
Bei jedem β⁻-Zerfall verlässt nur ein Elektron den Kern. Ein Elektron ist kein Nukleon; es trägt in der Bilanz A = 0. Im Kern selbst wird lediglich ein Neutron in ein Proton umgebaut — die Gesamtzahl der Kernteilchen ändert sich dabei nicht. Deshalb steht in der ganzen Kette dreimal die Massenzahl 90.
Sr-90: 38 Protonen und 90 − 38 = 52 Neutronen. Zr-90: 40 Protonen und 90 − 40 = 50 Neutronen.
Insgesamt sind aus zwei Neutronen zwei Protonen geworden. Die Zahl der Kernteilchen ist mit 90 gleich geblieben, die Ladung des Kerns ist um zwei Elementarladungen gestiegen. Antwortsatz: Der Kern hat kein Nukleon verloren, sondern zwei Neutronen in Protonen umgewandelt und dabei zwei Elemente „nach oben“ gewechselt.
Ein radioaktives Präparat steckt in einem Bleiblock mit einer engen Bohrung. Die austretende Strahlung durchläuft ein Magnetfeld und wird auf einem Schirm registriert. Man beobachtet die drei in Material M2 gezeigten Bahnen. Bahn 1 ist deutlich stärker gekrümmt als Bahn 3.
Alle drei Bahnen starten am selben Präparat. Nur die Krümmung im Magnetfeld unterscheidet sie.
Bahn 2 gehört zur γ-Strahlung: Sie ist ungeladen und wird deshalb überhaupt nicht abgelenkt. Bahn 1 und Bahn 3 sind entgegengesetzt gekrümmt, tragen also entgegengesetzte Ladungen. Da Bahn 1 die viel stärkere Krümmung zeigt, gehört sie zur β⁻-Strahlung (Elektronen), Bahn 3 zur α-Strahlung (zweifach positive Heliumkerne).
Die Bahn eines geladenen Teilchens im Magnetfeld wird umso stärker gekrümmt, je größer das Verhältnis \( \frac{q}{m} \) ist. Ein α-Teilchen trägt zwar die doppelte Ladung, ist aber rund 7200-mal schwerer als ein Elektron. Sein Verhältnis \( \frac{q}{m} \) ist damit etwa 3600-mal kleiner, und es weicht nur wenig von der geraden Bahn ab. Das leichte β-Teilchen wird dagegen stark abgelenkt.
Die Aussage ist nicht haltbar. Ein Positron trägt eine positive Elementarladung und dieselbe Masse wie ein Elektron; seine Bahn wäre also genauso stark gekrümmt wie Bahn 1, nur zur anderen Seite. Eine solche Bahn ist im Bild nicht vorhanden — sie fiele auch nicht mit Bahn 3 zusammen, weil α-Teilchen viel schwächer abgelenkt werden.
Richtig ist also nur die schwächere Behauptung: Aus diesem Versuch folgt, dass das Präparat hier keine β⁺-Strahlung aussendet. Ein grundsätzliches Argument gegen die Existenz von β⁺-Strahlern ist das nicht — Natrium-22 etwa ist einer. Antwortsatz: Die Begründung des Mitschülers ist falsch, seine Schlussfolgerung für dieses eine Präparat zufällig richtig.
In der Positronen-Emissions-Tomografie (PET) erhalten Patientinnen und Patienten eine schwach radioaktive Zuckerlösung. Der Zucker enthält das Nuklid Fluor-18 (A = 18, Z = 9), einen β⁺-Strahler mit einer Halbwertszeit von 110 Minuten. Das ausgesendete Positron trifft schon nach wenigen Millimetern im Gewebe auf ein Elektron. Beide Teilchen verschwinden dabei und es entstehen zwei γ-Quanten, die in genau entgegengesetzte Richtungen davonfliegen und außerhalb des Körpers gemessen werden.
Elementsymbole: O = Sauerstoff (Z = 8), F = Fluor (Z = 9), Ne = Neon (Z = 10).
\( {}^{18}_{\;\;9}\mathrm{F} \rightarrow {}^{18}_{\;\;8}\mathrm{O} + {}^{\;\;0}_{+1}\mathrm{e} \). Der Tochterkern ist Sauerstoff-18. Probe: 18 = 18 + 0 und 9 = 8 + 1.
Ein Positron ist ein geladenes, sehr leichtes Teilchen. Es gibt seine Energie im Gewebe schon nach wenigen Millimetern ab und verlässt den Körper nicht — außerhalb wäre es also gar nicht nachweisbar. Die beim Zusammentreffen mit einem Elektron entstehende γ-Strahlung ist dagegen ungeladen und sehr durchdringend; sie tritt aus dem Körper aus und kann von Detektoren registriert werden.
Zusätzlicher Vorteil: Da die beiden γ-Quanten in exakt entgegengesetzte Richtungen fliegen, liegt der Zerfallsort auf der Verbindungslinie zweier gleichzeitig ansprechender Detektoren. Aus vielen solchen Linien berechnet der Rechner das Bild.
220 min : 110 min = 2, also sind zwei Halbwertszeiten vergangen: \( A = 400\,\mathrm{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = 100\,\mathrm{MBq} \).
Nach nicht einmal vier Stunden ist also nur noch ein Viertel der Aktivität übrig; nach einem Tag (etwa 13 Halbwertszeiten) wären es weniger als 0,02 % . Antwortsatz: Fluor-18 lässt sich nicht lagern — es muss in einem Zyklotron in der Nähe der Klinik hergestellt und innerhalb weniger Stunden verwendet werden.
In einem Walzwerk wird Aluminiumfolie hergestellt. Über der Folie sitzt ein β⁻-Präparat (Strontium-90), darunter ein Geiger-Müller-Zählrohr. Je dicker die Folie, desto weniger β-Teilchen kommen durch. Die Anlage regelt die Walzen automatisch nach, sobald die Zählrate vom Sollwert abweicht. Material M3 zeigt eine Kalibriermessung.
| Foliendicke d in mm | 0,00 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,20 |
|---|---|---|---|---|---|
| Zählrate in 1/s | 820 | 610 | 452 | 336 | 250 |
Der Nulleffekt (Untergrundstrahlung) von 20 1/s ist in den Werten bereits abgezogen.
Die Zählrate nimmt mit wachsender Dicke ab, und zwar nicht um einen festen Betrag, sondern näherungsweise um einen festen Anteil: 610/820 ≈ 0,74; 452/610 ≈ 0,74; 336/452 ≈ 0,74; 250/336 ≈ 0,74. Pro 0,05 mm bleiben also rund 74 % der Teilchen übrig — die Abnahme verläuft exponentiell, ähnlich wie beim Zerfallsgesetz.
400 1/s liegt zwischen 452 1/s (0,10 mm) und 336 1/s (0,15 mm), und zwar näher an 452. Lineare Zwischenrechnung: \( d \approx 0{,}10\,\mathrm{mm} + \frac{452-400}{452-336}\cdot 0{,}05\,\mathrm{mm} \approx 0{,}12\,\mathrm{mm} \). Antwortsatz: Die Folie ist etwa 0,12 mm dick.
α-Strahlung würde bereits von der Luftstrecke und der Folie vollständig absorbiert: Das Zählrohr bekäme unabhängig von der Dicke immer null Teilchen, das Signal enthielte keine Information. Reine γ-Strahlung durchdringt eine so dünne Aluminiumfolie dagegen fast ungeschwächt: Die Zählrate würde sich kaum ändern, kleine Dickenunterschiede blieben im statistischen Rauschen.
β-Strahlung liegt genau dazwischen — sie wird von der Folie merklich, aber nicht vollständig geschwächt. Nur dann reagiert das Messsignal empfindlich auf die gesuchte Größe.
Die Aktivität sinkt tatsächlich, aber sehr langsam: In einem Jahr geht sie um etwa \( 1-\left(\tfrac12\right)^{1/28{,}8} \approx 2{,}4\,\% \) zurück. Wichtiger ist ein grundsätzlicher Punkt: Der Rückgang betrifft alle Messwerte im selben Verhältnis, weil die Schwächung durch die Folie ein fester Anteil ist. Die Zuordnung „Zählrate → Dicke“ verschiebt sich also gleichmäßig und lässt sich durch eine gelegentliche Neukalibrierung (oder durch eine Nullmessung ohne Folie) vollständig ausgleichen.
Urteil: Ohne Nachkalibrierung würde die Anlage die Folie mit der Zeit für zu dick halten; mit regelmäßiger Kalibrierung ist die lange Halbwertszeit von Sr-90 gerade ein Vorteil — das Präparat hält jahrzehntelang durch und muss nicht ständig ersetzt werden.
In der Atmosphäre entsteht laufend das Nuklid Kohlenstoff-14 (A = 14, Z = 6). Es ist ein β⁻-Strahler mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Lebende Pflanzen und Tiere nehmen Kohlenstoff auf, sodass in ihnen ein fester Anteil C-14 steckt. Mit dem Tod hört die Aufnahme auf, und der C-14-Anteil sinkt von da an nach dem Zerfallsgesetz.
Bei einem Fund aus einer Höhle misst man in einer Holzkohleprobe nur noch 25 % des C-14-Anteils, den frisches Holz zeigt. Elementsymbole: B = Bor (Z = 5), C = Kohlenstoff (Z = 6), N = Stickstoff (Z = 7).
\( {}^{14}_{\;\;6}\mathrm{C} \rightarrow {}^{14}_{\;\;7}\mathrm{N} + {}^{\;\;0}_{-1}\mathrm{e} \). Aus Kohlenstoff-14 wird Stickstoff-14; A bleibt 14, Z steigt von 6 auf 7. Probe: 14 = 14 + 0 und 6 = 7 + (−1).
25 % = \( \left(\tfrac12\right)^{2} \), es sind also genau zwei Halbwertszeiten vergangen: \( t = 2 \cdot 5730\,\mathrm{a} = 11\,460\,\mathrm{a} \). Antwortsatz: Die Holzkohle ist rund 11 500 Jahre alt.
Gemessen wird nur der heutige C-14-Anteil der Probe. Um daraus ein Alter zu berechnen, braucht man den Startwert — also den Anteil, den das Holz zum Zeitpunkt seines Todes hatte. Diesen Startwert entnimmt man frischem Holz von heute.
Das ist nur dann zulässig, wenn der C-14-Anteil in der Atmosphäre damals ungefähr genauso groß war wie heute, wenn also Neubildung durch die kosmische Strahlung und Zerfall im Gleichgewicht standen. Wäre der Anteil früher deutlich höher gewesen, hätte die Probe mehr C-14 mitbekommen und erschiene heute jünger, als sie ist. Tatsächlich schwankt der Anteil leicht (und ist seit den Kernwaffentests des 20. Jahrhunderts merklich verändert), weshalb Messungen mit Eichkurven aus Baumringen korrigiert werden.
Steinbeil: Feuerstein ist ein Mineral und enthält keinen Kohlenstoff aus einem Lebewesen. Es gibt also gar kein C-14, dessen Zerfall man verfolgen könnte — die Methode ist hier grundsätzlich nicht anwendbar. Datierbar wären allenfalls organische Reste am Fund, etwa der Holzgriff oder Pflanzenharz als Kleber.
Balken: Kohlenstoff ist vorhanden, aber 200 Jahre sind nur \( \tfrac{200}{5730} \approx 3{,}5\,\% \) einer Halbwertszeit. Der C-14-Anteil wäre erst um rund 2,4 % gesunken — ein Unterschied, der in der Größenordnung der Messunsicherheit und der natürlichen Schwankungen liegt. Urteil: Beide Vorhaben scheitern, aber aus verschiedenen Gründen — beim Beil fehlt das Material, beim Balken die Zeit. Für junge Hölzer ist die Jahresringzählung das geeignete Verfahren.