Punkte und Vektoren im Raum
Drei Achsen, drei Koordinaten — und Vektoren als Verschiebungen zwischen Punkten.
3D-Koordinatensystem
x₁ nach vorn (schräg, Kästchendiagonale), x₂ nach rechts, x₃ nach oben.
Koordinatenebenen
Eine Koordinate ist 0.
Verbindungsvektor
Spitze minus Fuß, zeilenweise.
Körper
Ecke im Ursprung, Kanten auf den Achsen; verdeckte Kanten gestrichelt.
Das Schrägbild täuscht
(2 | 2 | 1) und (0 | 1 | 0) landen an derselben Bildstelle. Den Koordinatenweg mitzeichnen.
Rechnen mit Vektoren
Addieren heißt aneinanderhängen, Vielfache strecken oder drehen um — kollinear heißt: Vielfaches.
Addition
Fuß an Spitze; Diagonale im Parallelogramm.
Subtraktion
Gegenvektor addieren; zweite Diagonale.
Vielfache
r > 0 gleiche Richtung, r < 0 umgekehrt.
Kollinearität
Ein Faktor r für alle Zeilen.
Eine Zeile reicht nicht
Erst wenn alle drei Quotienten gleich sind, sind die Vektoren kollinear.
Geraden und Ebenen in Parameterform
Stützpunkt plus Vielfache von Richtungen: eine Richtung ergibt eine Gerade, zwei nicht kollineare ergeben eine Ebene.
Gerade
Stützvektor p, Richtungsvektor u ≠ 0.
Gerade durch A, B
A als Stützpunkt, AB als Richtung; Strecke: 0 ≤ t ≤ 1.
Punktprobe
Ein t muss alle drei Zeilen erfüllen.
Ebene
Zwei nicht kollineare Spannvektoren.
Richtung ist kein Punkt
Als Richtungsvektor nie einen Ortsvektor wie OB einsetzen, sondern den Verbindungsvektor AB.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Diese drei Stellen kosten in der Klausur am häufigsten Punkte.
Reihenfolge und Vorzeichen
Koordinaten immer x₁, x₂, x₃. Verbindungsvektor: Spitze minus Fuß; negative Koordinaten einklammern.
Alle Zeilen prüfen
Kollinearität und Punktprobe: ein Wert r bzw. t für alle drei Zeilen. Zeilen mit 0 im Richtungsvektor extra vergleichen.
Ergebnis als Satz
„Q liegt auf g, weil t = 2 alle Gleichungen erfüllt“ — oder den Widerspruch nennen. Ohne Satz fehlt die Deutung.