Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden und Beweise mit Vektoren führen — erst selbst formulieren, dann die Musterlösung aufklappen.
Begründe, warum die Punkte \(P(2\,|\,2\,|\,1)\) und \(Q(0\,|\,1\,|\,0)\) im üblichen Schrägbild an derselben Stelle erscheinen, und erläutere, wie man sie trotzdem eindeutig darstellt.
Hinweis: Eine Einheit auf der \(x_1\)-Achse ist im Bild eine halbe Einheit nach links und eine halbe nach unten.
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Musterlösung: Im Schrägbild wird ein Punkt um \(p_2-\tfrac12p_1\) nach rechts und um \(p_3-\tfrac12p_1\) nach oben verschoben. Für \(P\): \(2-1=1\) und \(1-1=0\); für \(Q\): \(1-0=1\) und \(0-0=0\). Beide landen auf derselben Bildstelle. Eindeutig wird die Darstellung durch den eingezeichneten Koordinatenweg (bzw. Hilfsquader), der zeigt, wie weit man in \(x_1\)-Richtung gegangen ist.
Beurteile die Aussage: „Ist \(\vec a\) kollinear zu \(\vec b\) und \(\vec b\) kollinear zu \(\vec c\), dann ist auch \(\vec a\) kollinear zu \(\vec c\).“
Hinweis: Denke an einen besonderen Vektor, der zu allem kollinear ist.
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Musterlösung: Die Aussage ist im Allgemeinen falsch. Gegenbeispiel: \(\vec b=\vec 0\) ist zu jedem Vektor kollinear, \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec c=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) sind aber nicht kollinear. Sind alle drei Vektoren vom Nullvektor verschieden, stimmt die Aussage: aus \(\vec a=r\vec b\) und \(\vec b=s\vec c\) folgt \(\vec a=(rs)\,\vec c\).
Weise nach, dass das Viereck \(A(1\,|\,1\,|\,0)\), \(B(4\,|\,2\,|\,1)\), \(C(6\,|\,5\,|\,3)\), \(D(3\,|\,4\,|\,2)\) ein Parallelogramm ist.
Hinweis: Ein Paar gegenüberliegender Seiten, das gleich lang und parallel ist, reicht.
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Musterlösung: \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}6-3\\5-4\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\). Die Seiten \(AB\) und \(DC\) sind also parallel, gleich lang und gleich orientiert — \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. (Zusätzlich darf \(D\) nicht auf der Geraden \(AB\) liegen, was hier erfüllt ist.)
Zeige, dass \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec x=\begin{pmatrix}5\\0\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}\) dieselbe Gerade beschreiben.
Hinweis: Zwei Bedingungen: parallele Richtungen und ein gemeinsamer Punkt.
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Musterlösung: Die Richtungsvektoren sind kollinear (\(r=-2\)), die Geraden also parallel oder identisch. Punktprobe: \(1+2t=5\Rightarrow t=2\); \(2-2=0\) ✓; \(3+2=5\) ✓. Der Stützpunkt von \(h\) liegt auf \(g\) — beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Untersuche, ob \(A(1\,|\,2\,|\,3)\), \(B(2\,|\,4\,|\,5)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,1)\) eindeutig eine Ebene festlegen.
Hinweis: Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein.
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Musterlösung: \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\-2\end{pmatrix}=-\overrightarrow{AB}\). Die Punkte liegen auf einer Geraden (\(A\) ist sogar der Mittelpunkt von \(\overline{BC}\)). Durch eine Gerade gehen unendlich viele Ebenen — eine eindeutige Ebene gibt es nicht.
Beweise mit Vektoren: Die Diagonalen eines Parallelogramms \(ABCD\) halbieren sich.
Hinweis: Zeige, dass der Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) und der von \(\overline{BD}\) zusammenfallen.
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Musterlösung: Im Parallelogramm ist \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\), also \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\). Dann ist \(\overrightarrow{OM_{AC}}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\tfrac12(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{OM_{BD}}\). Beide Diagonalen haben denselben Mittelpunkt, sie halbieren sich also.
Gesucht ist die Gerade durch \(A(1\,|\,0\,|\,2)\) und \(B(3\,|\,4\,|\,6)\). Ein Schüler schreibt \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\). Beurteile die Lösung.
Hinweis: Welcher Vektor müsste als Richtungsvektor stehen?
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Musterlösung: Die Lösung ist falsch: Als Richtungsvektor wurde der Ortsvektor von \(A\) benutzt. Die Punktprobe mit \(A\) scheitert (\(4\neq0\)), \(A\) liegt also nicht auf der Geraden. Richtig ist z. B. \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\-4\\-4\end{pmatrix}\) oder mit \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\).
Begründe, warum eine Gerade unendlich viele Parameterdarstellungen hat, und gib zu \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\) eine zweite, völlig anders aussehende an.
Hinweis: Stützpunkt und Richtungsvektor lassen sich unabhängig voneinander austauschen.
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Musterlösung: Jeder der unendlich vielen Punkte von \(g\) kann Stützpunkt sein, und jedes Vielfache \(r\vec u\) mit \(r\neq0\) ist ein Richtungsvektor. Beispiel: \(\vec x=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-6\\2\end{pmatrix}\) — der Punkt entsteht für \(t=1\), der Richtungsvektor ist \(-2\vec u\).
Gegeben sind \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\) und \(Q(8\,|\,2\,|\,2)\). Eine Schülerin rechnet \(t=2\) aus der ersten und dritten Zeile und schließt „\(Q\in g\)“. Nimm Stellung.
Hinweis: Was sagt die zweite Zeile?
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Musterlösung: Die Schlussfolgerung ist falsch. Zeile 1 und 3 liefern zwar \(t=2\), die zweite Zeile lautet aber \(1=2\) — ein Widerspruch, unabhängig von \(t\). Alle Punkte von \(g\) haben \(x_2=1\); \(Q\) liegt nicht auf \(g\). Zeilen mit \(u_i=0\) muss man gesondert prüfen.
Begründe, dass \(E:\ \vec x=r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) die \(x_1x_2\)-Ebene ist.
Hinweis: Zwei Richtungen zeigen: Jeder Punkt von \(E\) liegt in der Ebene — und jeder Punkt der Ebene ist erreichbar.
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Musterlösung: Alle Punkte von \(E\) haben \(x_3=0\), liegen also in der \(x_1x_2\)-Ebene. Umgekehrt ist jeder Punkt \((a\,|\,b\,|\,0)\) erreichbar: mit \(s=b\) und \(r=a-b\) ergibt sich \(\begin{pmatrix}a-b+b\\b\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}\). Da die Spannvektoren nicht kollinear sind und der Ursprung Stützpunkt ist, ist \(E\) genau die \(x_1x_2\)-Ebene.