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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben vom Paket bis zur Seilbahn — erst übersetzen, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst die Situation in Punkte und Vektoren übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps.

A1
Paket im Koordinatensystem
AFB II

Ein quaderförmiges Paket steht mit der Ecke \(A\) im Ursprung; \(B(6\,|\,0\,|\,0)\), \(D(0\,|\,4\,|\,0)\) und \(E(0\,|\,0\,|\,3)\) sind Nachbarecken von \(A\) (Einheit dm).

a) Gib die \(x_2\)-Koordinate der Ecke \(G\) gegenüber von \(A\) an. b) Bestimme die \(x_1\)-Koordinate des Mittelpunkts der Deckfläche \(EFGH\).

Ansatz: G liegt diagonal gegenüber von A: alle drei Kantenlängen kombiniert.
Rechenweg: \(G(6\,|\,4\,|\,3)\); Mitte der Deckfläche = Mitte von \(EG\).
Lösung: a) 4 b) 3
Vollständige Lösung
\(G\) hat in jeder Koordinate die volle Kantenlänge: \(G(6\,|\,4\,|\,3)\). Der Mittelpunkt der Deckfläche ist der Mittelpunkt von \(\overline{EG}\): \(\left(\frac{0+6}{2}\,\middle|\,\frac{0+4}{2}\,\middle|\,3\right)=(3\,|\,2\,|\,3)\).
A2
Zeltspitze
AFB II

Ein pyramidenförmiges Zelt hat die quadratische Grundfläche \(A(0\,|\,0\,|\,0)\), \(B(4\,|\,0\,|\,0)\), \(C(4\,|\,4\,|\,0)\), \(D(0\,|\,4\,|\,0)\) (in m). Die Spitze \(S\) liegt 3 m über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

a) Gib die \(x_1\)-Koordinate von \(S\) an. b) In der Mitte der Stange \(\overline{CS}\) hängt eine Lampe. Bestimme ihre Höhe \(x_3\).

m
m
Ansatz: Mittelpunkt der Grundfläche zuerst, dann 3 nach oben.
Rechenweg: \(S(2\,|\,2\,|\,3)\); Mitte von \(C\) und \(S\).
Lösung: a) 2 m b) 1,5 m
Vollständige Lösung
Mittelpunkt der Grundfläche \((2\,|\,2\,|\,0)\), also \(S(2\,|\,2\,|\,3)\). Lampe: \(\left(\frac{4+2}{2}\,\middle|\,\frac{4+2}{2}\,\middle|\,\frac{0+3}{2}\right)=(3\,|\,3\,|\,1{,}5)\), also 1,5 m hoch.
A3
Vierte Ecke
AFB II

Die Punkte \(A(1\,|\,2\,|\,0)\), \(B(4\,|\,3\,|\,1)\) und \(C(5\,|\,6\,|\,4)\) sind drei Ecken des Parallelogramms \(ABCD\).

a) Bestimme \(d_2\). b) Bestimme \(d_3\).

Ansatz: Im Parallelogramm gilt \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Rechenweg: \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\), \(D=A+\overrightarrow{BC}\).
Lösung: a) 5 b) 3
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}5-4\\6-3\\4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\). Da \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) sein muss: \(D(1+1\,|\,2+3\,|\,0+3)=D(2\,|\,5\,|\,3)\).
A4
Liegen die Pfosten in einer Reihe?
AFB II

Drei Zaunpfosten stehen bei \(A(1\,|\,0\,|\,2)\), \(B(3\,|\,1\,|\,5)\) und \(C(7\,|\,3\,|\,11)\).

a) Es gilt \(\overrightarrow{AC}=r\cdot\overrightarrow{AB}\). Gib \(r\) an. b) Ein vierter Punkt \(E(5\,|\,2\,|\,z)\) soll auf derselben Geraden liegen. Bestimme \(z\).

Ansatz: Beide Verbindungsvektoren berechnen und vergleichen.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}6\\3\\9\end{pmatrix}\); für \(E\): \(\overrightarrow{AE}=2\cdot\overrightarrow{AB}\).
Lösung: a) 3 b) 8
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}6\\3\\9\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\), also \(r=3\). \(\overrightarrow{AE}=\begin{pmatrix}4\\2\\z-2\end{pmatrix}\): Aus den ersten Zeilen folgt der Faktor 2, also \(z-2=6\), \(z=8\).
A5
Steigflug
AFB II

Ein Flugzeug ist zum Zeitpunkt \(t=0\) (in min) im Punkt \(P(2\,|\,1\,|\,0)\) (in km) und legt pro Minute den Vektor \(\begin{pmatrix}4\\3\\0{,}5\end{pmatrix}\) zurück.

a) Gib die \(x_2\)-Koordinate nach 6 Minuten an. b) Nach wie vielen Minuten ist es 4 km hoch?

km
min
Ansatz: Die Bahn ist eine Gerade mit \(t\) als Zeit.
Rechenweg: \(1+6\cdot3\); Höhe: \(0+0{,}5t=4\).
Lösung: a) 19 km b) 8 min
Vollständige Lösung
Bahn: \(\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\3\\0{,}5\end{pmatrix}\). a) \(x_2=1+6\cdot3=19\) km. b) \(0{,}5t=4\Rightarrow t=8\) min.
A6
Seilbahn
AFB II

Die Talstation einer Seilbahn liegt in \(A(0\,|\,0\,|\,0)\), die Bergstation in \(B(8\,|\,4\,|\,6)\) (Einheit 100 m). Das Seil ist geradlinig.

a) Die Gondel ist bei \(Q(6\,|\,3\,|\,4{,}5)\). Bestimme den Parameter \(t\) mit \(\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}\). b) Gib die Höhe \(x_3\) (in 100 m) auf halber Strecke an.

Ansatz: Punktprobe mit der Strecke; halbe Strecke heißt \(t=0{,}5\).
Rechenweg: \(8t=6,\ 4t=3,\ 6t=4{,}5\).
Lösung: a) 0,75 b) 3
Vollständige Lösung
Alle drei Zeilen liefern \(t=0{,}75\) — die Gondel hat drei Viertel des Weges geschafft. Auf halber Strecke: \(x_3=0{,}5\cdot6=3\), also 300 m über der Talstation.
A7
Vektor zerlegen
AFB II

Der Vektor \(\vec w=\begin{pmatrix}7\\1\\5\end{pmatrix}\) soll als \(r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) geschrieben werden.

a) Bestimme \(r\). b) Bestimme \(s\).

Ansatz: Zeilenweise ein LGS aufstellen: \(r+2s=7\), \(r-s=1\).
Rechenweg: Subtrahieren: \(3s=6\); dritte Zeile als Probe.
Lösung: a) 3 b) 2
Vollständige Lösung
Aus \(r+2s=7\) und \(r-s=1\) folgt \(3s=6\), also \(s=2\) und \(r=3\). Probe in der dritten Zeile: \(3+2=5\) ✓.
A8
Dachfläche
AFB II

Eine Dachfläche geht durch \(A(1\,|\,0\,|\,0)\), \(B(0\,|\,2\,|\,0)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,3)\).

a) Gib den zweiten Eintrag des Spannvektors \(\overrightarrow{AB}\) an. b) Bestimme \(x_3\) des Punktes mit \(r=s=0{,}5\) in \(E:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+r\,\overrightarrow{AB}+s\,\overrightarrow{AC}\).

Ansatz: Spannvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) bilden.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\).
Lösung: a) 2 b) 1,5
Vollständige Lösung
\(E:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\). Für \(r=s=0{,}5\): \(X(0\,|\,1\,|\,1{,}5)\).
A9
Liegt die Antenne auf der Fläche?
AFB II

Gegeben ist \(E:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(Q(3\,|\,4\,|\,7)\).

a) Bestimme \(r\) aus der ersten Zeile. b) Bestimme \(s\) aus der zweiten Zeile (die dritte Zeile ist dann die Probe).

Ansatz: Punktprobe bei Ebenen: zwei Zeilen lösen, die dritte prüfen.
Rechenweg: \(1+r=3\), \(1+s=4\); Probe: \(2r+s=7\).
Lösung: a) 2 b) 3
Vollständige Lösung
\(r=2\), \(s=3\). Probe: \(0+2\cdot2+1\cdot3=7\) ✓ — \(Q\) liegt in \(E\).
A10
Punkt spiegeln
AFB II

Der Punkt \(M(3\,|\,2\,|\,1)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\) mit \(A(2\,|\,-1\,|\,4)\).

a) Bestimme \(b_2\). b) Bestimme \(b_3\).

Ansatz: Von \(A\) nach \(M\) und denselben Vektor noch einmal.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}1\\3\\-3\end{pmatrix}\), \(B=M+\overrightarrow{AM}\).
Lösung: a) 5 b) −2
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\3\\-3\end{pmatrix}\), also \(B(4\,|\,5\,|\,-2)\).