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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben zu Punkten, Vektoren, Geraden und Ebenen — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Verbindungsvektor, Mittelpunkt, Rechnen mit Vektoren, Geraden und Ebenen — die sicheren Punkte jeder Klausur.

A1
Verbindungsvektor
AFB I

Gegeben sind \(A(2\,|\,-1\,|\,3)\) und \(B(5\,|\,3\,|\,1)\). Gib den zweiten Eintrag von \(\overrightarrow{AB}\) an.

Regel: „Spitze minus Fuß“: \(b_2-a_2\).
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\(3-(-1)\) = 4
A2
Gegenvektor
AFB I

Es ist \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}\). Gib den dritten Eintrag von \(\overrightarrow{BA}\) an.

Regel: \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\): alle Vorzeichen wechseln.
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\(-5\) = −5
A3
Mittelpunkt
AFB I

Bestimme die \(x_1\)-Koordinate des Mittelpunkts der Strecke von \(A(2\,|\,6\,|\,-4)\) nach \(B(8\,|\,0\,|\,2)\).

Regel: \(m_1=\frac{a_1+b_1}{2}\).
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\(\frac{2+8}{2}\) = 5
A4
Vektoren addieren
AFB I

Berechne den zweiten Eintrag von \(\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\5\\-1\end{pmatrix}\).

Regel: Zeilenweise addieren.
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\(-2+5\) = 3
A5
Vektoren subtrahieren
AFB I

Berechne den ersten Eintrag von \(\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}\).

Regel: Zeilenweise subtrahieren, Minus vor der Klammer beachten.
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\(4-(-2)\) = 6
A6
Vielfaches
AFB I

Berechne den dritten Eintrag von \(-3\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\0{,}5\end{pmatrix}\).

Regel: Jeden Eintrag mit \(r\) multiplizieren.
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\(-3\cdot0{,}5\) = −1,5
A7
Faktor bei Kollinearität
AFB I

Es gilt \(\begin{pmatrix}-6\\3\\-9\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Gib \(r\) an.

Regel: \(r=\frac{b_1}{a_1}\) — und die anderen Zeilen prüfen.
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\(\frac{-6}{2}=\frac{3}{-1}=\frac{-9}{3}\) = −3
A8
Punkt auf der Geraden
AFB I

Gegeben ist \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Gib die \(x_3\)-Koordinate des Punktes für \(t=2\) an.

Regel: Parameter einsetzen, dann zeilenweise rechnen.
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\(0+2\cdot3\) = 6
A9
Punktprobe
AFB I

Der Punkt \(Q(7\,|\,-1\,|\,9)\) liegt auf der Geraden \(g\) aus A8. Bestimme den Parameterwert \(t\).

Regel: Erste Zeile: \(1+2t=7\); mit den anderen Zeilen prüfen.
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\(t=\frac{7-1}{2}\); Probe: \(2-3=-1\), \(0+9=9\) = 3
A10
Punkt der Ebene
AFB I

Gegeben ist \(E:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\). Gib die \(x_3\)-Koordinate des Punktes für \(r=2,\ s=-1\) an.

Regel: Beide Parameter einsetzen, dann zeilenweise addieren.
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\(2+2\cdot0+(-1)\cdot1\) = 1