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Probeklausur

Eine komplette Probeklausur mit 50 Punkten in 90 Minuten — mit Auswertung in Notenpunkten und Erwartungshorizont.

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Bearbeitungszeit90 Minuten
AFB I

Wissen und Reproduzieren

17 Punkte
A1
Punkte im Koordinatensystem
AFB I 4 Punkte

Gegeben ist der Quader mit \(A(0\,|\,0\,|\,0)\), \(B(5\,|\,0\,|\,0)\), \(D(0\,|\,4\,|\,0)\) und \(E(0\,|\,0\,|\,2)\); \(G\) liegt gegenüber von \(A\).

a) Gib die \(x_2\)-Koordinate von \(G\) an. 1 P
b) Gib die \(x_3\)-Koordinate von \(G\) an. 1 P
c) Welche Punkte liegen in der \(x_1x_3\)-Ebene? (mehrere Antworten richtig) 2 P
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Erwartungshorizont: a) \(G(5\,|\,4\,|\,2)\): 4 (1 P) b) 2 (1 P) c) A, B, E haben \(x_2=0\) (2 P; je Fehlklick Abzug).

A2
Vektoren berechnen
AFB I 5 Punkte

Gegeben sind \(P(3\,|\,-1\,|\,2)\) und \(Q(1\,|\,4\,|\,6)\).

a) Erster Eintrag von \(\overrightarrow{PQ}\). 1 P
b) Zweiter Eintrag von \(\overrightarrow{PQ}\). 1 P
c) \(x_3\)-Koordinate des Mittelpunkts von \(\overline{PQ}\). 1 P
d) Zweiter Eintrag von \(2\cdot\overrightarrow{PQ}-\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\). 2 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: a) \(1-3=-2\) (1 P) b) \(4-(-1)=5\) (1 P) c) \(\frac{2+6}{2}=4\) (1 P) d) \(2\cdot5-3=7\) (2 P).

A3
Kollinear?
AFB I 4 Punkte

Gegeben ist \(\vec a=\begin{pmatrix}3\\-6\\1{,}5\end{pmatrix}\).

Welche Vektoren sind kollinear zu \(\vec a\)? (mehrere Antworten richtig) 4 P
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Erwartungshorizont: Kollinear: \(-\tfrac13\vec a\) und \(2\vec a\). (1, −2, 1): Faktor 3 in den ersten Zeilen, aber 1,5 in der dritten. (3, 6, 1,5): Vorzeichen in Zeile 2 passt nicht. Je richtige Auswahl 2 P, je Fehlklick 2 P Abzug.

A4
Gerade aufstellen
AFB I 4 Punkte

Die Gerade \(g\) verläuft durch \(A(2\,|\,1\,|\,0)\) und \(B(4\,|\,0\,|\,3)\) mit \(g:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}\).

a) Dritter Eintrag des Richtungsvektors. 1 P
b) \(x_1\)-Koordinate des Punktes für \(t=-1\). 1 P
c) Für welches \(t\) erreicht man die Höhe \(x_3=4{,}5\)? 2 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Erwartungshorizont: a) \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\): 3 (1 P) b) \(2-2=0\) (1 P) c) \(3t=4{,}5\Rightarrow t=1{,}5\) (2 P).

AFB II

Zusammenhänge herstellen

22 Punkte
A5
Parallelogramm
AFB II 5 Punkte

\(A(1\,|\,0\,|\,2)\), \(B(5\,|\,2\,|\,2)\) und \(D(0\,|\,3\,|\,4)\) sind Ecken des Parallelogramms \(ABCD\).

a) Bestimme \(c_1\). 1 P
b) Bestimme \(c_2\). 1 P
c) Bestimme \(c_3\). 1 P
d) \(x_1\)-Koordinate des Diagonalenschnittpunkts. 2 P
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Erwartungshorizont: \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\), \(C(4\,|\,5\,|\,4)\) (3 P). Diagonalenschnitt = Mitte von \(\overline{AC}\): \((2{,}5\,|\,2{,}5\,|\,3)\) (2 P).

A6
Punktprobe
AFB II 5 Punkte

\(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\), \(P(7\,|\,1\,|\,0)\), \(Q(5\,|\,0\,|\,2)\).

a) Parameter \(t\) für \(P\). 2 P
b) Welche Aussagen stimmen? (mehrere Antworten richtig) 3 P
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Erwartungshorizont: a) \(1+2t=7\Rightarrow t=3\); \(-2+3=1\) ✓, \(3-3=0\) ✓ (2 P). b) Für \(Q\): \(t=2\), \(t=2\), \(t=1\) — Widerspruch, \(Q\notin g\) (3 P).

A7
Drohnenflug
AFB II 6 Punkte

Eine Drohne startet in \(S(0\,|\,0\,|\,0)\) und fliegt pro Sekunde um \(\begin{pmatrix}2\\1\\0{,}5\end{pmatrix}\) (in m). Ein Baum hat seine Spitze in \(T(16\,|\,8\,|\,4)\).

a) Nach wie vielen Sekunden ist die Drohne 3 m hoch? 2 P
s
b) Nach wie vielen Sekunden erreicht die Drohne die Baumspitze? 2 P
s
c) Welche \(x_2\)-Koordinate hat die Drohne nach 5 s? 2 P
m
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Erwartungshorizont: Bahn \(\vec x=t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0{,}5\end{pmatrix}\). a) \(0{,}5t=3\Rightarrow t=6\) s (2 P) b) \(2t=16,\ t=8,\ 0{,}5\cdot8=4\) ✓: nach 8 s (2 P) c) 5 m (2 P).

A8
Ebene aufstellen
AFB II 6 Punkte

Eine Ebene geht durch \(A(2\,|\,0\,|\,0)\), \(B(0\,|\,4\,|\,0)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,2)\); \(E:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+r\,\overrightarrow{AB}+s\,\overrightarrow{AC}\).

a) Erster Eintrag von \(\overrightarrow{AC}\). 1 P
b) \(x_2\)-Koordinate des Punktes für \(r=0{,}5,\ s=0{,}25\). 2 P
c) Der Punkt \(Q(1\,|\,1\,|\,0{,}5)\) liegt in \(E\). Bestimme \(r\). 3 P
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Erwartungshorizont: a) \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\) (1 P) b) \(0+0{,}5\cdot4=2\) (2 P) c) Zeile 2: \(4r=1\Rightarrow r=0{,}25\); Zeile 3: \(2s=0{,}5\Rightarrow s=0{,}25\); Probe Zeile 1: \(2-0{,}5-0{,}5=1\) ✓ (3 P).

AFB III

Verallgemeinern und Reflektieren

11 Punkte
A9
Liegen die Punkte auf einer Geraden?
AFB III 5 Punkte

Gegeben sind \(A(1\,|\,2\,|\,0)\), \(B(3\,|\,3\,|\,2)\) und \(C_k(7\,|\,5\,|\,k)\).

a) Für welches \(k\) liegen \(A\), \(B\), \(C_k\) auf einer Geraden? 3 P
b) Welche Folgerung ist für \(k=5\) richtig? 2 P
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Erwartungshorizont: a) \(\overrightarrow{AC_k}=\begin{pmatrix}6\\3\\k\end{pmatrix}=3\cdot\overrightarrow{AB}\) mit \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) ⇒ \(k=6\) (3 P). b) Für \(k\neq6\) sind die Vektoren nicht kollinear: die Punkte legen eine Ebene fest (2 P).

A10
Gleiche Gerade?
AFB III 6 Punkte

\(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec x=\begin{pmatrix}4\\-3\\a\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\4\\-6\end{pmatrix}\).

a) Faktor \(r\) mit \(\vec u_h=r\cdot\vec u_g\). 2 P
b) Für welches \(a\) beschreiben \(g\) und \(h\) dieselbe Gerade? 4 P
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Erwartungshorizont: a) \(\begin{pmatrix}-2\\4\\-6\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\): \(r=-2\) (2 P). b) Der Stützpunkt von \(h\) muss auf \(g\) liegen: \(2+t=4\Rightarrow t=2\); \(1-4=-3\) ✓; \(a=1+6=7\) (4 P).

Ergebnis

Erreicht
0 / 50
Prozent
0 %
Notenpunkte
—
AufgabeThemaPunkte

Bewertung in Notenpunkten

PunkteNotenpunkteAnteil
48 – 50 P15ab 95 %
45 – 47 P14ab 90 %
43 – 44 P13ab 85 %
40 – 42 P12ab 80 %
38 – 39 P11ab 75 %
35 – 37 P10ab 70 %
33 – 34 P09ab 65 %
30 – 32 P08ab 60 %
28 – 29 P07ab 55 %
25 – 27 P06ab 50 %
23 – 24 P05ab 45 %
20 – 22 P04ab 40 %
17 – 19 P03ab 33 %
14 – 16 P02ab 27 %
10 – 13 P01ab 20 %
0 – 9 P00ab 0 %