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Geradengleichungen aufstellen

Zehn Übungen zu Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter — und warum eine Gerade viele Gleichungen hat.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Gleichungen für eine Gerade
AFB II

Die Gerade g geht durch A(1 | 0 | 2) und B(3 | 4 | 1). Welche Gleichungen beschreiben g?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
(3, 4, 1) ist der Ortsvektor von B, kein Richtungsvektor. Richtung ist AB = (2, 4, −1) oder ein Vielfaches davon.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Geradengleichungen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Stützvektor = Ort, Richtungsvektor = Richtung, Parameter = wie weit.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

In g: x = p + t · u heißt p der und u der . Die Variable t ist der . Beschränkt man t auf 0 ≤ t ≤ 1, erhält man eine . Der Stützvektor ist der eines Punktes der Geraden.

Der Nullvektor kann nie Richtungsvektor sein — er hat keine Richtung.
A4
Dieselbe Gerade?
AFB II

Vergleiche jede Gleichung mit g: x = (2, 1, 0) + t · (1, −1, 3).

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1beschreibt g
2parallel zu g, aber nicht g
3andere Richtung
Parallel ist eine Gerade, wenn der Richtungsvektor kollinear ist. Dieselbe Gerade ist es erst, wenn zusätzlich der Stützpunkt auf g liegt.
A5
Punkt zu einem Parameter
AFB I

g: x = (4, −1, 2) + t · (−2, 3, 1). Gib den Punkt für t = −3 an.

Trage jede Koordinate in ihr eigenes Feld ein — ↓/↑ wechselt das Feld, Enter prüft.
x₁ = x₂ = x₃ =
4 − 3 · (−2) = 10, −1 + 3 · (−3) = −10, 2 + (−3) = −1. Negatives t geht gegen die Pfeilrichtung.
A6
Gerade durch zwei Punkte
AFB I

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Einen der Punkte als Stützpunkt wählen
2Den Verbindungsvektor berechnen
3Gleichung mit Parameter notieren
4Probe: t = 1 liefert den zweiten Punkt
5Parameterbereich festlegen, falls nur die Strecke gemeint ist
Die Probe mit t = 1 deckt den häufigsten Fehler auf: den Ortsvektor des zweiten Punktes als Richtung.
A7
Rechenkette: Flugbahn
AFB II

Ein Flugzeug ist in P(10 | −5 | 2) (in km) und legt pro Minute den Vektor (−6, 8, 1) zurück.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x₁-Koordinate nach 2 Minuten km
  2. x₃-Koordinate nach 2 Minuten km
  3. nach wie vielen Minuten ist es 7 km hoch? min
  4. x₂-Koordinate zu diesem Zeitpunkt km
Die Bahn ist x = (10, −5, 2) + t · (−6, 8, 1), t in Minuten. Höhe: 2 + t = 7, also t = 5.
A8
Beschreibung und Gleichung
AFB II

Ordne jeder Geraden ihre Gleichung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Geraden durch den Ursprung brauchen keinen Stützvektor — oder den Nullvektor als Stützvektor.
A9
Fehlersuche
AFB II

Gerade durch A(2 | 0 | 1) und B(5 | 2 | 1): Drei Notizen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Steht im Richtungsvektor eine 0, ändert sich die Koordinate nie — ein guter Kontrollpunkt.
A10
Was wird aus der Geraden?
AFB III

g: x = (1, 2, 3) + t · (2, 0, 1) geht nicht durch den Ursprung. Was beschreibt die Gleichung nach der Änderung?

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = dieselbe Gerade g, 2 = eine Parallele zu g (nicht durch O), 3 = eine Gerade durch denselben Stützpunkt, andere Richtung, 4 = nur einen Punkt, 5 = die Parallele zu g durch O. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = dieselbe Gerade g5 = die Parallele zu g durch O
u durch −3u ersetzen
p durch p + (0, 0, 1) ersetzen
u durch den Nullvektor ersetzen
u durch u + (1, 0, 0) ersetzen
p durch den Nullvektor ersetzen
p + (0, 0, 1) liegt nicht auf g, weil (0, 0, 1) kein Vielfaches von u ist — die Gerade wird parallel verschoben.