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Geradengleichungen aufstellen

Zwei Aufgaben im Abiturformat — ein Kletterseil zwischen zwei Bäumen und eine Flugbahn mit Zeitparameter.

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Ein Kletterseil

AFB I–II

In einem Hochseilgarten ist ein Seil geradlinig von \(A(0|0|8)\) an einem Baum zu \(B(12|9|2)\) an einem anderen Baum gespannt (1 LE = 1 m).

Seil von A nach B
x1x2x3ABP
P: Punkt nach einem Drittel des Seils.
  1. Stellen Sie eine Gleichung für das Seil als Strecke auf.
  2. Berechnen Sie die Höhe über dem Boden, nachdem man ein Drittel des Seils zurückgelegt hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\), Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\), Parameterbereich angeben.
Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Drittel des Seils entspricht \(t=\tfrac13\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}12\\9\\-6\end{pmatrix},\ 0\le t\le1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t=\tfrac13\): \(\vec x=\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}\). Man ist 6 m über dem Boden.

2

Eine Flugbahn

AFB II–III

Ein Flugzeug bewegt sich geradlinig gemäß \(\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\0{,}5\end{pmatrix}\) (1 LE = 1 km, \(t\) in Minuten nach Beobachtungsbeginn).

  1. Beschreiben Sie die Bedeutung des Stützvektors und des Richtungsvektors im Sachzusammenhang.
  2. Ermitteln Sie, wann und wo das Flugzeug eine Höhe von 5 km erreicht.
  3. Bewerten Sie die Notiz eines Fluglotsen: „\(\vec x=\begin{pmatrix}18\\13\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}8\\6\\1\end{pmatrix}\) beschreibt dieselbe Flugbahn, und \(s\) zählt ebenfalls Minuten.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welcher Punkt gehört zu \(t=0\)? Um wie viel ändert sich die Position pro Minute?
Hinweis zu Aufgabe b)
Nur die \(x_3\)-Zeile hängt mit der Höhe zusammen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe zwei Dinge getrennt: dieselbe Gerade? dieselbe Zeitmessung?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Stützvektor gibt die Position \((2|1|3)\) zu Beobachtungsbeginn an. Der Richtungsvektor ist die Verschiebung pro Minute: 4 km in \(x_1\)-, 3 km in \(x_2\)-Richtung und 0,5 km Steigung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(3+0{,}5t=5\Rightarrow t=4\). Nach 4 Minuten ist das Flugzeug in \((18|13|5)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Dieselbe Bahn: \((18|13|5)\) liegt auf der Bahn (\(t=4\)) und \(\begin{pmatrix}8\\6\\1\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\0{,}5\end{pmatrix}\). Aber \(s\) zählt keine Minuten: Pro Einheit von \(s\) legt man den doppelten Weg zurück, es gilt \(s=\tfrac{t-4}{2}\). Die Notiz ist also nur zur Hälfte richtig.