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Vektoren addieren/subtrahieren

Zehn Übungen zum Aneinanderhängen und Abziehen von Pfeilen — und warum a − b nicht dasselbe ist wie b − a.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Rechnen mit a und b
AFB I

Es ist a = (2, −1, 3) und b = (−4, 5, 0). Welche Ergebnisse stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
(−8, −5, 0) entsteht durch Multiplizieren statt Addieren. Bei (6, −4, 3) wurde in der zweiten Zeile −1 − 5 zu −4 statt −6.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Summe und Differenz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Addition ist vertauschbar, Subtraktion nicht — sie dreht die Richtung um.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Addieren setzt man den von b an die von a. Setzt man beide Pfeile an denselben Punkt, ist a + b die des aufgespannten . Subtrahieren heißt, den zu addieren.

Ein Skalar ist eine Zahl — er kommt beim Vervielfachen vor, nicht beim Addieren zweier Vektoren.
A4
Welches Ergebnis?
AFB II

Sortiere die Rechnungen nach ihrem Ergebnis.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1ergibt (3, 1, −2)
2ergibt (−1, 4, 2)
3ergibt den Nullvektor
Bei (−3, 0, 2) − (−6, −1, 4) hilft die Klammer: −3 − (−6) = 3 und 0 − (−1) = 1.
A5
Differenz berechnen
AFB I

Berechne b − a für a = (3, −2, 7) und b = (−1, 4, 2).

Trage jede Koordinate in ihr eigenes Feld ein — ↓/↑ wechselt das Feld, Enter prüft.
v₁ = v₂ = v₃ =
b − a: von jedem Eintrag von b den Eintrag von a abziehen: −1 − 3 = −4, 4 − (−2) = 6, 2 − 7 = −5.
A6
Verbindungsvektor herleiten
AFB II

Bringe die Schritte der Herleitung von AB = OB − OA in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Umweg über den Ursprung: AB = AO + OB
2AO ist der Gegenvektor von OA: AO = −OA
3Einsetzen und umstellen: AB = OB − OA
4Koordinaten von A und B einsetzen
5Zeilenweise subtrahieren
Der Umweg über O macht aus zwei Ortsvektoren den Verbindungsvektor — daher „Spitze minus Fuß“.
A7
Rechenkette: Flug mit Seitenwind
AFB II

Ein Flugzeug bewegt sich in 10 Minuten relativ zur Luft um (12, 5, 0) (in km). Der Wind versetzt es in derselben Zeit um (−2, 3, 0).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x₁-Eintrag der tatsächlichen Verschiebung km
  2. x₂-Eintrag der tatsächlichen Verschiebung km
  3. Der Wind dreht auf (1, −4, 0): neuer x₁-Eintrag km
  4. neuer x₂-Eintrag km
Die tatsächliche Bewegung ist die Summe aus Eigenbewegung und Wind — beide Pfeile werden aneinandergehängt.
A8
Pfeile im Parallelogramm
AFB II

Im Parallelogramm ABCD ist AB = a und AD = b. Ordne jedem Pfeil seinen Vektor zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
DB führt von der Spitze von b zur Spitze von a: das ist a − b. BD zeigt genau andersherum.
A9
Fehlersuche
AFB II

Sechs Rechnungen und Aussagen — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Minus vor einer negativen Zahl ist der Klassiker — deshalb negative Einträge immer einklammern.
A10
Was wird aus a + b?
AFB III

Im Parallelogramm aus a und b wird etwas verändert. Was wird aus der Summe a + b?

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = Nullvektor, 2 = Gegenvektor, 3 = unverändert, 4 = doppelt so lang, 5 = ein anderer Vektor. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = Nullvektor5 = ein anderer Vektor
a und b vertauschen
a und b durch ihre Gegenvektoren ersetzen
b durch −a ersetzen
a und b beide verdoppeln
nur b durch −b ersetzen
Ersetzt man nur b durch −b, entsteht a − b — die andere Diagonale, also ein ganz anderer Vektor.