Maße und Lagen: Zusammenfassung – Mathe Grundkurs

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7.1 Abstände und das Skalarprodukt

Länge, Skalarprodukt und Winkel hängen über eine Formel zusammen.

Abstand

Länge des Verbindungsvektors — Raumdiagonale des Quaders.

d(A,B) = |b − a|

Skalarprodukt

Koordinatenweise multiplizieren und addieren — ergibt eine Zahl.

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Projektion

Länge von a mal (vorzeichenbehafteter) Schatten von b auf a.

a · b = |a| · bₐ

Orthogonalität

Senkrecht genau dann, wenn das Skalarprodukt null ist.

a ⊥ b ⇔ a · b = 0

Winkel zwischen Vektoren

cos α = (a · b) / (|a| · |b|)

Gradmaß einstellen. Innenwinkel: beide Vektoren im Scheitel beginnen lassen.

Wurzel erst am Schluss

|b − a| = √((b₁−a₁)² + (b₂−a₂)² + (b₃−a₃)²) — nie die Beträge der Koordinaten addieren.

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7.2 Lagebeziehungen von Geraden

Erst die Richtungen vergleichen, dann nach einem gemeinsamen Punkt suchen.

Identisch

Kollinear, Stützpunkt von h liegt auf g.

v = k·u und Q ∈ g

Echt parallel

Kollinear, aber kein gemeinsamer Punkt.

v = k·u und Q ∉ g

Schneidend

Nicht kollinear, LGS lösbar.

S = p + r₀u = q + s₀v

Windschief

Nicht kollinear, dritte Gleichung widerspricht.

nur im Raum

Schnittwinkel zweier Geraden

cos α = |u · v| / (|u| · |v|)

Der Schnittwinkel liegt immer zwischen 0° und 90°.

Zwei Parameter

Gleichsetzen immer mit r und s. Ein gemeinsames t prüft nur gleichzeitige Begegnungen.

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7.3 Flächen- und Rauminhalte

Bekannte Formeln — Grundseite, Höhe und Grundfläche kommen aus den Koordinaten.

Dreieck

Grundseite |AB|, Höhe über den Lotfußpunkt.

A = ½ · |AB| · |FC|

Lotfußpunkt

F = A + t·AB mit FC · AB = 0.

t = (AC · AB) / (AB · AB)

Rechteck

Rechten Winkel prüfen, dann Seiten multiplizieren.

A = |AB| · |AD|

Pyramide

Höhe = Abstand der Spitze zur Grundflächenebene.

V = ⅓ · G · h

Volumen

Prisma: V = G · h · Pyramide: V = ⅓ · G · h

Liegt G in der x₁x₂-Ebene, ist h = |s₃|.

Höhe ist keine Kante

Die Seitenkante |AS| ist länger als die Höhe — außer sie steht senkrecht auf der Grundfläche.

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Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Diese drei Stellen kosten in der Klausur am häufigsten Punkte.

Rechnen mit Rechner

GTR: OPTN → MAT/VCT → DotP(, Angle(, Norm(; EQUA → SIMUL für LGS. CAS: dotP, norm, solve(… and …, {r,s}).

Die dritte Gleichung

Bei Schnittpunkten immer alle drei Koordinatengleichungen prüfen — sonst werden windschiefe Geraden übersehen.

Sauber begründen

Senkrecht: Skalarprodukt = 0 angeben. Rechteck: Parallelogramm + rechter Winkel. Nicht aus dem Schrägbild argumentieren.