Aufgabenblock — AFB III
Begründen, beurteilen, Verfahren entwickeln: Formuliere deine Antwort zuerst selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum das Kriterium \(\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0\) nur für \(\vec a,\vec b\ne\vec 0\) formuliert wird.
Hinweis: Was ergibt \(\vec 0\cdot\vec b\)?
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Musterlösung: Für \(\vec a=\vec 0\) ist das Skalarprodukt immer 0. Da der Nullvektor keine Richtung hat, ist ein Winkel zwischen \(\vec 0\) und \(\vec b\) nicht definiert. Die Umformung \(\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\) setzt außerdem voraus, dass man durch \(|\vec a|\cdot|\vec b|\) teilen darf.
Zeige mit dem Skalarprodukt: In jeder Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.
Hinweis: Setze \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\) mit \(|\vec a|=|\vec b|\).
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Musterlösung: \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=|\vec a|^2-|\vec b|^2=0\), weil alle Seiten einer Raute gleich lang sind. Also \(\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{DB}\).
Beurteile die Aussage: „Zwei Geraden mit orthogonalen Richtungsvektoren schneiden sich immer.“
Hinweis: Denke an Kanten eines Würfels.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Die \(x_1\)-Achse hat \(\vec u=(1|0|0)\), die Gerade \(h\) hat \(\vec v=(0|1|0)\), also \(\vec u\cdot\vec v=0\). Gleichsetzen liefert in der dritten Zeile \(0=1\) — die Geraden sind windschief. Orthogonale Richtungen sagen nichts über gemeinsame Punkte.
Erläutere, warum man beim Gleichsetzen zweier Geraden verschiedene Parameter \(r\) und \(s\) verwenden muss.
Hinweis: Was prüft man, wenn man bei beiden Geraden denselben Parameter \(t\) nimmt?
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Musterlösung: Ein Schnittpunkt \(S\) liegt auf \(g\) bei einem Wert \(r_0\) und auf \(h\) bei einem Wert \(s_0\) — die beiden Werte hängen nicht zusammen. Mit einem gemeinsamen \(t\) sucht man nur Punkte mit \(r_0=s_0\) und übersieht alle anderen Schnittpunkte (wie bei zwei Flugzeugen, die dieselbe Stelle zu verschiedenen Zeiten passieren).
Lena berechnet den Schnittwinkel zweier Geraden mit \(\cos\alpha=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}\) und erhält \(128^\circ\). Beurteile ihr Ergebnis und korrigiere es.
Hinweis: Welcher Bereich gilt für Schnittwinkel?
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Musterlösung: Lena hat den Winkel zwischen den Richtungsvektoren bestimmt. Geraden haben keine Pfeilrichtung, der Schnittwinkel ist der kleinere der beiden Winkel: \(180^\circ-128^\circ=52^\circ\). Mit dem Betrag im Zähler, \(\cos\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}\), erhält man direkt \(52^\circ\).
Untersuche, für welche Werte von \(a\) sich \(g\colon\ \vec x=(1|0|0)+r\cdot(1|a|1)\) und \(h\colon\ \vec x=s\cdot(0|1|0)\) schneiden.
Hinweis: Stelle das Gleichungssystem auf und löse es allgemein.
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Musterlösung: Aus I folgt \(r=-1\), aus III \(r=0\) — ein Widerspruch, unabhängig von \(a\). Die Geraden schneiden sich für kein \(a\). Da \((1|a|1)\) nie ein Vielfaches von \((0|1|0)\) ist, sind sie für jedes \(a\) windschief.
Begründe, warum sich das Volumen einer Pyramide nicht ändert, wenn man die Spitze parallel zur Grundfläche verschiebt.
Hinweis: Welche Größen stehen in \(V=\tfrac13 G h\)?
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Musterlösung: Die Grundfläche bleibt dieselbe. Die Höhe ist der Abstand der Spitze von der Ebene der Grundfläche; bei einer Verschiebung parallel zu dieser Ebene ändert er sich nicht. Also bleiben \(G\) und \(h\) und damit \(V=\tfrac13 Gh\) gleich — nur die Seitenkanten werden länger oder kürzer.
Zeige, dass \(A(1|0|0)\), \(B(0|1|0)\), \(C(0|0|1)\) ein gleichseitiges Dreieck bilden, und bestimme seinen Flächeninhalt exakt.
Hinweis: Im gleichseitigen Dreieck mit Seite \(a\) gilt \(h=\frac{\sqrt3}{2}a\).
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Musterlösung: \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|=\sqrt2\). Höhe \(h=\frac{\sqrt3}{2}\sqrt2=\frac{\sqrt6}{2}\), also \(A=\tfrac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6}{2}=\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87\).
Tim behauptet: „Der Abstand von \(A\) zu \(B\) ist \(|\vec b|-|\vec a|\).“ Beurteile die Aussage.
Hinweis: Probiere zwei Punkte mit gleichem Abstand vom Ursprung.
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Musterlösung: Falsch. Für \(A(1|0|0)\) und \(B(0|1|0)\) ist \(|\vec b|-|\vec a|=0\), der Abstand aber \(\sqrt2\). Richtig ist \(d(A,B)=|\vec b-\vec a|\) — erst die Differenz der Vektoren, dann der Betrag. Nur wenn \(O\), \(A\), \(B\) auf einem Strahl liegen, stimmt Tims Rechnung zufällig.
Entwickle ein Prüfverfahren, mit dem man für vier Punkte \(A,B,C,D\) entscheidet, ob \(ABCD\) ein Quadrat ist.
Hinweis: Nutze Vektorgleichheit, Skalarprodukt und Betrag.
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Musterlösung: 1. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\): Parallelogramm. 2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\): Rechteck. 3. \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|\): Quadrat. Sind alle drei erfüllt, ist \(ABCD\) ein Quadrat (Reihenfolge der Ecken beachten).