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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn mehrschrittige Aufgaben vom Sonnensegel bis zur Flugbahn — erst den Ansatz finden, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Schritte zusammenkommen — Dreiecke, Geraden, Flugbahnen und Pyramiden. Drei gestufte Tipps helfen beim Ansatz.

A1
Gleichschenkliges Dreieck
AFB II

Gegeben ist das Dreieck \(A(1|1|1)\), \(B(5|1|4)\), \(C(1|6|1)\).

a) Berechne \(|\overrightarrow{AB}|\). b) Berechne \(|\overrightarrow{BC}|\) auf zwei Nachkommastellen.

Ansatz: Alle Seiten als Abstände zweier Punkte.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(4|0|3)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4|5|-3)\).
Lösung: a) 5 b) 7,07
Vollständige Lösung
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+0+9}=5\), \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0+25+0}=5\) — das Dreieck ist gleichschenklig. \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{16+25+9}=\sqrt{50}\approx7{,}07\).
A2
Rechter Winkel gesucht
AFB II

Gegeben ist das Dreieck \(A(4|0|0)\), \(B(4|3|0)\), \(C(0|3|3)\).

a) Berechne \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\). b) Berechne den Flächeninhalt.

FE
Ansatz: Rechten Winkel mit dem Skalarprodukt suchen, dann \(A=\tfrac12\cdot\) Kathete · Kathete.
Rechenweg: \(\overrightarrow{BA}=(0|-3|0)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4|0|3)\), Längen 3 und 5.
Lösung: a) 0 b) 7,5
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0+0+0=0\): rechter Winkel bei \(B\). Die Katheten sind 3 und 5 lang, also \(A=\tfrac12\cdot3\cdot5=7{,}5\).
A3
Innenwinkel
AFB II

Gegeben ist das Dreieck \(A(1|0|0)\), \(B(0|1|0)\), \(C(0|0|1)\).

a) Berechne \(|\overrightarrow{AB}|\) auf zwei Nachkommastellen. b) Berechne den Innenwinkel bei \(A\).

°
Ansatz: Innenwinkel mit Vektoren, die im Scheitel \(A\) beginnen.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(-1|1|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1|0|1)\), Skalarprodukt 1.
Lösung: a) 1,41 b) 60°
Vollständige Lösung
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt2\approx1{,}41\); ebenso \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt2\). \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\Rightarrow\alpha=60^\circ\) — das Dreieck ist gleichseitig.
A4
Vektorwinkel und Schnittwinkel
AFB II

Zwei sich schneidende Geraden haben die Richtungsvektoren \(\vec u=(1|2|2)\) und \(\vec v=(2|-2|-1)\).

a) Berechne den Winkel zwischen \(\vec u\) und \(\vec v\). b) Gib den Schnittwinkel der Geraden an (je eine Nachkommastelle).

°
°
Ansatz: Erst den Vektorwinkel, dann den spitzen Winkel.
Rechenweg: \(\vec u\cdot\vec v=2-4-2=-4\), \(|\vec u|=|\vec v|=3\).
Lösung: a) 116,4° b) 63,6°
Vollständige Lösung
\(\cos\alpha=-\frac49\Rightarrow\alpha\approx116{,}4^\circ\). Der Schnittwinkel ist der spitze Winkel: \(180^\circ-116{,}4^\circ=63{,}6^\circ\), bzw. \(\cos\alpha=\frac{|-4|}{9}\).
A5
Schnittpunkt zweier Geraden
AFB II

\(g\colon\ \vec x=(1|2|0)+r\cdot(1|0|1)\), \(h\colon\ \vec x=(2|0|3)+s\cdot(0|1|-1)\).

Bestimme den Schnittpunkt \(S\).

Ansatz: Gleichsetzen, zwei Gleichungen lösen, die dritte prüfen.
Rechenweg: I: \(1+r=2\), II: \(2=s\), III: \(r=3-s\).
Lösung: S(2|2|1)
Vollständige Lösung
Aus I: \(r=1\), aus II: \(s=2\). III: \(1=3-2\) ✓. \(S=(1|2|0)+1\cdot(1|0|1)=(2|2|1)\); Probe mit \(h\): \((2|0|3)+2\cdot(0|1|-1)=(2|2|1)\).
A6
Rechteck im Raum
AFB II

Gegeben sind \(A(2|0|0)\), \(B(2|4|0)\), \(C(0|4|3)\), \(D(0|0|3)\).

a) Berechne \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\). b) Berechne den Flächeninhalt von \(ABCD\) auf zwei Nachkommastellen.

FE
Ansatz: Parallelogramm mit rechtem Winkel ist ein Rechteck.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(0|4|0)\), \(\overrightarrow{AD}=(-2|0|3)\).
Lösung: a) 0 b) 14,42
Vollständige Lösung
Wegen \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ist \(ABCD\) ein Parallelogramm, \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\) macht es zum Rechteck. \(A=4\cdot\sqrt{13}\approx14{,}42\).
A7
Dreieck mit Lotfußpunkt
AFB II

Gegeben ist das Dreieck \(A(0|0|0)\), \(B(6|0|0)\), \(C(2|3|4)\).

a) Berechne die Höhe \(h\) auf \(AB\). b) Berechne den Flächeninhalt.

FE
Ansatz: Lotfußpunkt \(F=A+t\cdot\overrightarrow{AB}\) mit \(\overrightarrow{FC}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).
Rechenweg: \(t=\frac{12}{36}=\frac13\), \(F(2|0|0)\).
Lösung: a) 5 b) 15
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{FC}=(0|3|4)\) steht senkrecht auf \((6|0|0)\), also \(h=|\overrightarrow{FC}|=5\). \(A=\tfrac12\cdot6\cdot5=15\).
A8
Schiefe Pyramide
AFB II

Eine Pyramide hat die Grundfläche \(A(0|0|0)\), \(B(4|0|0)\), \(C(4|3|0)\), \(D(0|3|0)\) und die Spitze \(S(6|5|6)\).

a) Berechne das Volumen. b) Berechne die Länge der Kante \(\overline{AS}\) auf zwei Nachkommastellen.

VE
LE
Ansatz: Höhe über der \(x_1x_2\)-Ebene an \(s_3\) ablesen.
Rechenweg: \(G=4\cdot3=12\), \(h=6\); \(\overrightarrow{AS}=(6|5|6)\).
Lösung: a) 24 b) 9,85
Vollständige Lösung
\(V=\tfrac13\cdot12\cdot6=24\). Die Spitze liegt nicht über der Grundfläche — das ändert nichts. \(|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{36+25+36}=\sqrt{97}\approx9{,}85\), deutlich länger als die Höhe 6.
A9
Zwei Flugbahnen
AFB II

Flugzeug 1: \(\vec x=(0|0|2)+t\cdot(2|1|0,5)\), Flugzeug 2: \(\vec x=(8|-2|1)+t\cdot(-1|1|0,5)\) (t in Minuten, Koordinaten in km). Die Bahnen schneiden sich in \(S(4|2|3)\).

a) Wann ist Flugzeug 1 in \(S\)? b) Wann ist Flugzeug 2 in \(S\)?

min
min
Ansatz: Für jede Bahn den Parameter von \(S\) bestimmen.
Rechenweg: \(2t=4\) bzw. \(8-t=4\).
Lösung: a) 2 b) 4
Vollständige Lösung
Flugzeug 1: \(2t=4\Rightarrow t=2\) (Probe: \(t=2,\ 2+1=3\) ✓). Flugzeug 2: \(8-t=4\Rightarrow t=4\) (Probe: \(-2+4=2,\ 1+2=3\) ✓). Die Flugzeuge sind zu verschiedenen Zeiten in \(S\) — kein Zusammenstoß.
A10
Punkt mit vorgegebenem Abstand
AFB II

Der Punkt \(P(2|t|1)\) soll vom Punkt \(A(0|0|3)\) den Abstand 3 haben.

Bestimme den positiven Wert von \(t\).

Ansatz: Abstandsformel aufstellen und quadrieren.
Rechenweg: \(\sqrt{4+t^2+4}=3\Rightarrow8+t^2=9\).
Lösung: t = 1
Vollständige Lösung
\(t^2=1\Rightarrow t=\pm1\); positiv: \(t=1\). Beide Punkte \(P(2|1|1)\) und \(P(2|-1|1)\) haben den Abstand 3.