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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben zu Abständen, Winkeln und Geraden — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Abstand, Skalarprodukt, Winkel, Lage, Schnittpunkt und Volumen — jeweils mit einer Regel-Erinnerung.

A1
Abstand zweier Punkte
AFB I

Berechne den Abstand der Punkte \(A(1|2|3)\) und \(B(3|-1|9)\).

LE
Regel: \(d=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)
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\(\overrightarrow{AB}=(2|-3|6)\), \(d=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}\) = 7
A2
Betrag eines Vektors
AFB I

Berechne den Betrag von \(\vec v=(4|-4|2)\).

Regel: \(|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)
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\(\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}\) = 6
A3
Skalarprodukt
AFB I

Berechne \(\vec a\cdot\vec b\) für \(\vec a=(3|-2|1)\) und \(\vec b=(2|4|5)\).

Regel: \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
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\(6-8+5\) = 3
A4
Orthogonal machen
AFB I

Bestimme \(t\) so, dass \(\vec a=(2|t|-1)\) und \(\vec b=(3|1|4)\) orthogonal sind.

Regel: Orthogonal \(\iff\vec a\cdot\vec b=0\).
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\(6+t-4=0\Rightarrow t\) = −2
A5
Winkel ohne Rechner
AFB I

Bestimme den Winkel zwischen \(\vec a=(1|1|0)\) und \(\vec b=(1|0|1)\).

°
Regel: \(\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\)
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\(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\Rightarrow\alpha\) = 60°
A6
Winkel mit dem GTR
AFB I

Bestimme den Winkel zwischen \(\vec a=(3|0|4)\) und \(\vec b=(0|2|1)\). Runde auf eine Nachkommastelle.

°
Regel: GTR im Gradmaß: Angle([[3,0,4]],[[0,2,1]]).
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\(\cos\alpha=\frac{4}{5\cdot\sqrt5}\approx0{,}358\Rightarrow\alpha\approx\) = 69,0°
A7
Kollineare Richtungen
AFB I

Die Geraden \(g\) und \(h\) haben die Richtungsvektoren \(\vec u=(2|-1|3)\) und \(\vec v=(-4|2|-6)\). Gib \(k\) mit \(\vec v=k\cdot\vec u\) an.

Regel: Kollinear: \(\vec v=k\cdot\vec u\) — Quotienten vergleichen.
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\(-4:2=2:(-1)=-6:3\) = −2
A8
Punktprobe
AFB I

Prüfe, ob \(P(7|-3|9)\) auf \(g\colon\ \vec x=(1|0|0)+r\cdot(2|-1|3)\) liegt, und gib den Parameter \(r\) an.

Regel: Punkt einsetzen und jede Zeile nach \(r\) auflösen.
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\(1+2r=7,\ -r=-3,\ 3r=9\) liefern jedes Mal \(r\) = 3
A9
Schnittpunkt
AFB I

Bestimme den Schnittpunkt von \(g\colon\ \vec x=(0|0|1)+r\cdot(1|2|0)\) und \(h\colon\ \vec x=(3|0|1)+s\cdot(-1|1|0)\).

Regel: Gleichsetzen: \(r=3-s,\ 2r=s,\ 1=1\).
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\(r=1,\ s=2\); \(S=(0|0|1)+1\cdot(1|2|0)\) = (1|2|1)
A10
Volumen einer Pyramide
AFB I

Eine Pyramide hat als Grundfläche das Quadrat mit den Ecken \((0|0|0)\), \((6|0|0)\), \((6|6|0)\), \((0|6|0)\) und die Spitze \(S(3|3|5)\). Berechne ihr Volumen.

VE
Regel: \(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\); die Grundfläche liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene.
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\(G=36,\ h=5\): \(\tfrac13\cdot36\cdot5\) = 60