Grundfläche, Höhe, ein Drittel — und die Frage, warum eine schiefe Spitze am Volumen nichts ändert.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Pyramidenvolumen
AFB I
Eine Pyramide hat als Grundfläche das Quadrat \((0|0|0)\), \((5|0|0)\), \((5|5|0)\), \((0|5|0)\) und die Spitze \(S(2|1|6)\). Berechnen Sie ihr Volumen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
VE
\(G=25\), \(h=6\) (dritte Koordinate der Spitze), \(V=\tfrac13\cdot25\cdot6=50\). Dass \(S\) nicht über der Mitte liegt, spielt keine Rolle.
Die Grundfläche liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene.
Die Höhe ist dann \(|s_3|\).
A2
Was ist die Höhe?
AFB I
Geben Sie alle zutreffenden Aussagen über die Höhe einer Pyramide an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Nur bei einer geraden Pyramide trifft die Höhe den Mittelpunkt der Grundfläche. Seitenkanten sind länger, außer eine Kante steht senkrecht.
Denken Sie an ein schiefes Zelt.
Höhe = kürzeste Verbindung Spitze–Grundflächenebene.
A3
Körper und Formel
AFB I
Ordnen Sie jedem Körper seine Volumenformel zu.
Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Das Tetraeder mit rechtwinkliger Ecke ist eine Pyramide mit G = ½ · a · b und h = c — daher ⅓ · ½ · a · b · c = ⅙ · a · b · c.
Spitzkörper haben den Faktor ⅓.
Beim Tetraeder: Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck.
A4
Schiefe Pyramide
AFB II
Grundfläche \(A(0|0|0)\), \(B(6|0|0)\), \(C(6|4|0)\), \(D(0|4|0)\), Spitze \(S(1|5|9)\). Werten Sie Schritt für Schritt aus.
Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Grundfläche \(G\)FE
Höhe \(h\)LE
Volumen \(V\)VE
Länge der Kante \(\overline{AS}\) (zwei Nachkommastellen)LE
\(G=6\cdot4=24\), \(h=9\), \(V=\tfrac13\cdot24\cdot9=72\). \(|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{1+25+81}=\sqrt{107}\approx10{,}34\) — länger als die Höhe. Die Spitze liegt sogar außerhalb über der Grundfläche (\(s_2=5>4\)).
\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\): Rechteck mit Seiten 6 und 4.
Die Höhe liest man an \(s_3\) ab.
A5
Volumen verschiedener Körper
AFB II
Ermitteln Sie die Volumina.
Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Körper
Grundfläche G
Höhe h
Volumen
Quader 2 × 3 × 4
6
4
Dreiecksprisma
6
5
Pyramide
12
5
Tetraeder, Grundfläche ½ · 3 · 4
6
6
Prisma und Quader: G · h; Pyramide und Tetraeder: ⅓ · G · h. Bei gleicher Grundfläche und Höhe hat die Pyramide ein Drittel des Prismenvolumens.
Unterscheiden Sie zuerst: Prisma/Quader oder Spitzkörper?
Tetraeder: \(\tfrac13\cdot6\cdot6\).
A6
Tetraeder in der Ecke
MixAFB II
Das Tetraeder hat die Ecken \(O(0|0|0)\), \(A(4|0|0)\), \(B(0|6|0)\) und \(C(0|0|5)\). Bestimmen Sie sein Volumen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
VE
Grundfläche \(OAB\) ist rechtwinklig: \(G=\tfrac12\cdot4\cdot6=12\), Höhe \(5\). \(V=\tfrac13\cdot12\cdot5=20\).
Wählen Sie das Dreieck \(OAB\) in der \(x_1x_2\)-Ebene als Grundfläche.
Die Höhe ist dann die \(x_3\)-Koordinate von \(C\).
A7
Spitze für ein vorgegebenes Volumen
AFB II
Über dem Rechteck \((0|0|0)\), \((6|0|0)\), \((6|4|0)\), \((0|4|0)\) soll eine Pyramide mit der Spitze \(S(2|3|h)\) das Volumen 40 haben. Lösen Sie die Bedingung nach \(h\) auf und geben Sie beide Lösungen an.
Beide Werte eintragen, Enter prüft.
\(\tfrac13\cdot24\cdot|h|=40\Rightarrow|h|=5\). Die Spitze kann über (\(h=5\)) oder unter (\(h=-5\)) der Grundfläche liegen — die Höhe ist ein Abstand und damit \(|h|\).
Die Höhe ist \(|h|\) — auch unter der Ebene entsteht eine Pyramide.
\(8\cdot|h|=40\).
A8
Fehlersuche
AFB III
Drei der sechs Aussagen sind falsch. Überprüfen Sie jede Aussage.
In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Zwei der Fehler betreffen die Höhe, einer den Faktor ⅓.
Welche Größen stehen in \(V=\tfrac13 Gh\) wirklich?
Prisma/Quader haben keinen Faktor ⅓.
A9
Trickaufgabe: Die weit verschobene Spitze
TrickAFB III
Eine Pyramide hat das Quadrat mit der Seitenlänge 4 in der \(x_1x_2\)-Ebene als Grundfläche. Ihre Spitze wird von \((2|2|6)\) nach \((40|{-}30|6)\) verschoben. Stellen Sie eine Vermutung auf und bestimmen Sie dann das neue Volumen.
Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.
0100
\(V=\tfrac13\cdot16\cdot6=32\) — vor und nach dem Verschieben. Die Pyramide wird extrem schief, aber Grundfläche und Höhe bleiben gleich (Prinzip von Cavalieri).
Ändert sich die Höhe, wenn \(s_3\) gleich bleibt?
Rechnen Sie einfach mit der ursprünglichen Spitze.
A10
Volumen verstehen
AFB III
Beurteilen Sie die Aussagen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Volumen skaliert mit dem Kubik des Streckfaktors, Flächen mit dem Quadrat.
Rechnen Sie mit einem einfachen Beispiel nach, z. B. G = 9, h = 3.
