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Abituraufgaben: Rauminhalte bestimmen

Eine Glaspyramide und ein Würfel mit abgeschnittenen Ecken — Rauminhalte berechnen und Grenzen ausloten.

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Eine Glaspyramide

AFB I–II

Eine Glaspyramide steht auf dem Quadrat \(A(0|0|0)\), \(B(20|0|0)\), \(C(20|20|0)\), \(D(0|20|0)\); ihre Spitze ist \(S(10|10|14)\) (in m). Die vier Seitenflächen sind verglast.

Glaspyramide
x₁x₂x₃ABCDSMF
Quadratische Grundfläche mit 20 m Seitenlänge, Spitze \(S\), Höhe gestrichelt.
  1. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
  2. Bestimmen Sie die Länge einer Seitenkante.
  3. Ermitteln Sie die Glasfläche der vier Seitenflächen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Abstand von \(A\) und \(S\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Seitendreieck \(ABS\): Lotfußpunkt von \(S\) auf \(AB\) ist die Mitte \(F(10|0|0)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(G=400\ \text{m}^2\), \(h=14\ \text{m}\), \(V=\tfrac13\cdot400\cdot14\approx1866{,}7\ \text{m}^3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{100+100+196}=\sqrt{396}\approx19{,}90\ \text{m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\overrightarrow{FS}=(0|10|14)\), \(h_s=\sqrt{296}\approx17{,}20\ \text{m}\). \(A_{ABS}=\tfrac12\cdot20\cdot17{,}20\approx172{,}0\ \text{m}^2\). Vier gleiche Flächen: \(\approx688{,}1\ \text{m}^2\).

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Würfel mit abgeschnittenen Ecken

AFB II–III

Ein Holzwürfel hat die Ecke \(O(0|0|0)\) und die Kantenlänge 6 cm; er liegt im ersten Oktanten. An der Ecke \(O\) wird entlang der Ebene durch \(P(3|0|0)\), \(Q(0|3|0)\) und \(R(0|0|3)\) ein Tetraeder abgesägt. Später sollen an allen acht Ecken gleich große Tetraeder abgesägt werden.

Würfel mit abgeschnittener Ecke
x₁x₂x₃OPQR
Würfel mit Kantenlänge 6; an der Ecke \(O\) wird das Tetraeder \(OPQR\) abgeschnitten.
  1. Weisen Sie nach, dass das Tetraeder \(OPQR\) das Volumen \(4{,}5\ \text{cm}^3\) hat.
  2. Zeigen Sie, dass das Schnittdreieck \(PQR\) gleichseitig ist, und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.
  3. Untersuchen Sie, bis zu welcher Schnitttiefe \(a\) (Schnittpunkte \((a|0|0)\), \((0|a|0)\), \((0|0|a)\) an jeder Ecke) man alle acht Ecken abschneiden kann, ohne dass sich die Tetraeder überschneiden.
  4. Beurteilen Sie Jonas’ Rechnung für \(a=6\): „Restvolumen \(216-8\cdot36=-72\) — der Würfel verschwindet ganz.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Grundfläche \(OPQ\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene.
Hinweis zu Aufgabe b)
Drei Abstände; für die Fläche die Höhe im gleichseitigen Dreieck.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei benachbarte Ecken teilen eine Kante der Länge 6.
Hinweis zu Aufgabe d)
Gilt die Rechnung mit acht getrennten Tetraedern hier noch?Beurteilen: die Voraussetzungen der Rechnung prüfen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(G=\tfrac12\cdot3\cdot3=4{,}5\ \text{cm}^2\), \(h=3\ \text{cm}\), \(V=\tfrac13\cdot4{,}5\cdot3=4{,}5\ \text{cm}^3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(|\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{QR}|=|\overrightarrow{RP}|=\sqrt{18}=3\sqrt2\). Höhe \(\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\sqrt2\), Fläche \(\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot18=4{,}5\sqrt3\approx7{,}79\ \text{cm}^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Auf jeder Kante schneiden die beiden Nachbarecken je die Länge \(a\) ab. Ohne Überschneidung muss \(a+a\le6\) gelten, also \(a\le3\). Im Grenzfall \(a=3\) treffen sich die Schnitte genau in den Kantenmitten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für \(a=6\) hätte jedes Tetraeder das Volumen \(\tfrac16\cdot6^3=36\ \text{cm}^3\). Die Rechnung setzt aber voraus, dass sich die Tetraeder nicht überschneiden — das ist nach c) nur für \(a\le3\) erfüllt. Ein negatives Volumen zeigt, dass mehrfach abgezogen wurde. Richtig für den Grenzfall \(a=3\): \(216-8\cdot4{,}5=180\ \text{cm}^3\) (ein Kuboktaeder).