Wissen und Reproduzieren
20 PunkteGegeben sind \(A(2|-1|3)\) und \(B(4|3|-1)\).
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Erwartungshorizont: a) \(\overrightarrow{AB}=(2|4|-4)\) (1 P) b) \(\sqrt{4+16+16}=6\) (2 P) c) \(\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\approx3{,}74\) (2 P).
Gegeben sind \(\vec a=(2|-3|1)\) und \(\vec b=(4|1|t)\).
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Erwartungshorizont: a) \(8-3+1=6\) (2 P) b) \(8-3+t=0\Rightarrow t=-5\) (2 P) c) \((3|2|0)\): \(6-6+0=0\) und \((1|1|1)\): \(2-3+1=0\) (2 P).
Gegeben sind \(\vec u=(1|0|1)\) und \(\vec v=(0|1|1)\).
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Erwartungshorizont: a) \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\Rightarrow\alpha=60^\circ\) (3 P) b) \(60^\circ\), da bereits spitz (2 P).
\(g\colon\ \vec x=(1|2|0)+r\cdot(1|-1|2)\) und \(h\colon\ \vec x=(3|0|4)+s\cdot(-2|2|-4)\).
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Erwartungshorizont: a) \(k=-2\) (2 P) b) Punktprobe: \((3|0|4)=(1|2|0)+2\cdot(1|-1|2)\) ✓ → identisch (2 P).
Zusammenhänge herstellen
22 Punkte\(g\colon\ \vec x=(2|1|0)+r\cdot(1|1|1)\) und \(h\colon\ \vec x=(2|4|1)+s\cdot(2|-1|1)\).
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Erwartungshorizont: I: \(2+r=2+2s\), II: \(1+r=4-s\), III: \(r=1+s\). Aus II und III: \(2+s=4-s\Rightarrow s=1,\ r=2\) (3 P); I: \(4=4\) ✓. \(S=(2|1|0)+2\cdot(1|1|1)=(4|3|2)\), Probe mit \(h\): \((2|4|1)+(2|-1|1)=(4|3|2)\) ✓ (4 P).
Gegeben ist das Dreieck \(A(1|0|1)\), \(B(1|8|1)\), \(C(4|2|5)\).
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Erwartungshorizont: a) \(\overrightarrow{AB}=(0|8|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(3|2|4)\): \(t=\frac{16}{64}=0{,}25\) (2 P) b) \(F(1|2|1)\), \(\overrightarrow{FC}=(3|0|4)\), \(h=5\) (3 P) c) \(\tfrac12\cdot8\cdot5=20\) (3 P).
Die Grundfläche \(A(0|0|0)\), \(B(6|0|0)\), \(C(6|4|0)\), \(D(0|4|0)\) trägt die Spitze \(S(2|3|6)\).
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Erwartungshorizont: a) \((6|0|0)\cdot(0|4|0)=0\); außerdem \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) (1 P) b) \(G=24,\ h=6\), \(V=\tfrac13\cdot24\cdot6=48\) (3 P) c) \(\sqrt{4+9+36}=7\) (3 P).
Verallgemeinern und Reflektieren
8 PunkteFlugzeug 1: \(\vec x=(0|0|3)+t\cdot(3|1|0)\), Flugzeug 2: \(\vec x=(3|8|0)+t\cdot(1|-2|1)\) (\(t\) in Minuten). Die Bahnen schneiden sich in \(S(6|2|3)\).
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Erwartungshorizont: a) \(3t=6\Rightarrow t=2\) (1 P) b) \(3+t=6\Rightarrow t=3\) (1 P) c) Richtig: kein Zusammenstoß; Zusammenstoß nur bei gleichem Parameter (3 P).
Für jedes \(a\) ist \(g_a\colon\ \vec x=(0|0|0)+r\cdot(a|2|a-1)\) gegeben, dazu \(h\colon\ \vec x=(1|1|1)+s\cdot(1|1|1)\).
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Erwartungshorizont: \(a+2+a-1=0\Rightarrow2a=-1\Rightarrow a=-0{,}5\) (3 P).
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 46 – 50 P | 1 | sehr gut |
| 40 – 45 P | 2 | gut |
| 30 – 39 P | 3 | befriedigend |
| 22 – 29 P | 4 | ausreichend |
| 12 – 21 P | 5 | mangelhaft |
| 0 – 11 P | 6 | ungenügend |