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Übungen: Orthogonalität von Vektoren

Senkrecht oder nicht? Das Skalarprodukt entscheidet — auch dort, wo das Schrägbild täuscht.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.

A1
Senkrecht zu a
AFB I

Geben Sie alle Vektoren an, die zu \(\vec a=(2|{-}1|3)\) orthogonal sind.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Skalarprodukte: 2 − 2 + 0 = 0, 6 + 0 − 6 = 0, 2 − 1 + 3 = 4, 0 − 3 + 3 = 0, −4 − 1 − 9 = −14, 4 − 1 − 3 = 0. (−2|1|−3) ist das Gegenstück von a — kollinear, nicht orthogonal.
Berechnen Sie für jeden Vektor das Skalarprodukt mit \(\vec a\).
Orthogonal genau dann, wenn das Ergebnis 0 ist.
A2
Parameter bestimmen
AFB I

Bestimmen Sie \(t\) so, dass \((t|2|{-}1)\) und \((3|t|4)\) orthogonal sind.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(3t+2t-4=0\Rightarrow5t=4\Rightarrow t=0{,}8\). Probe: \(2{,}4+1{,}6-4=0\) ✓.
Stellen Sie das Skalarprodukt auf — \(t\) kommt zweimal vor.
\(3t+2t-4=0\).
A3
Das Kriterium in Worten
AFB I

Setzen Sie die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn sie einen einschließen. Dann ist ihr gleich . Für den ist diese Aussage nicht sinnvoll, weil er keine hat.

„kollinear“ bleibt übrig — das ist das Gegenteil: gleiche oder entgegengesetzte Richtung.
Wie groß ist cos 90°?
Welcher Vektor hat die Länge 0?
A4
Eigenschaften von Vektorpaaren
AFB II

Untersuchen Sie jedes Paar auf die drei Eigenschaften.

Setzen Sie in jeder Zeile so viele Kreuze, wie zutreffen — es können mehrere, eines oder keines sein. Enter setzt und löscht.
FallorthogonalkollinearSkalarprodukt positiv
(1|2|2) und (2|−2|1)
(1|−2|3) und (−2|4|−6)
(3|1|0) und (1|1|1)
(0|0|2) und (5|−1|0)
(2|4|6) und (1|2|3)
Paar 2 ist kollinear mit Faktor −2, daher ist das Skalarprodukt negativ (−28). Paar 5 ist kollinear mit Faktor 2 und hat das Skalarprodukt 28. Orthogonal und kollinear gleichzeitig geht nur mit dem Nullvektor.
Skalarprodukt ausrechnen und prüfen, ob ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
Kollinear heißt \(\vec b=k\cdot\vec a\) — vergleichen Sie die Quotienten der Koordinaten.
A5
Senkrecht zu zwei Vektoren
AFB II

Der Vektor \(\vec n=(1|y|z)\) soll zu \((1|0|{-}1)\) und zu \((0|1|2)\) orthogonal sein. Ermitteln Sie \(y\) und \(z\).

Zwei Bedingungen, zwei Unbekannte. Enter prüft.
\(\vec n\cdot(1|0|{-}1)=1-z=0\Rightarrow z=1\); \(\vec n\cdot(0|1|2)=y+2z=0\Rightarrow y=-2\). Also \(\vec n=(1|{-}2|1)\).
Stellen Sie zwei Gleichungen mit dem Skalarprodukt auf.
Die erste Gleichung enthält nur \(z\).
A6
Rechter Winkel im Dreieck
MixAFB II

Gegeben sind \(A(1|1|0)\), \(B(3|2|2)\) und \(C(t|0|4)\). Berechnen Sie \(t\) so, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(B\) einen rechten Winkel hat.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\overrightarrow{BA}=(-2|{-}1|{-}2)\), \(\overrightarrow{BC}=(t-3|{-}2|2)\): \(-2(t-3)+2-4=0\Rightarrow-2t+4=0\Rightarrow t=2\). Die Vektoren müssen beide im Scheitel \(B\) beginnen.
Rechter Winkel bei \(B\): \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\).
\(\overrightarrow{BC}=(t-3|{-}2|2)\).
A7
Wo liegt der rechte Winkel?
AFB II

Ordnen Sie jedes Dreieck \(ABC\) zu.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken Sie dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1rechter Winkel bei A
2bei B
3bei C
4kein rechter Winkel
Zum Beispiel Dreieck 2: \(\overrightarrow{AB}=(1|2|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(2|{-}1|1)\), Skalarprodukt \(2-2+0=0\). Bei den letzten beiden Dreiecken ist keines der drei Skalarprodukte null.
Prüfen Sie alle drei Ecken: je zwei Vektoren, die in dieser Ecke beginnen.
Ein Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel — sobald Sie ihn gefunden haben, sind Sie fertig.
A8
Fehlersuche
AFB III

Drei der sechs Aussagen sind falsch. Überprüfen Sie jede Aussage.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Alle drei Fehler betreffen Voraussetzungen: Nullvektor, Schrägbild und die Frage, ob sich Geraden überhaupt treffen.
Rechnen Sie die Zahlenbeispiele kurz nach.
Bei allgemeinen Aussagen: Gibt es eine Ausnahme?
A9
Trickaufgabe: Wie viele Lösungen?
TrickAFB III

Lösen Sie die Bedingung und geben Sie an, für wie viele Werte von \(t\) die Vektoren \((t|1|2)\) und \((t|t|{-}1)\) orthogonal sind.

Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.
04
\(t^2+t-2=0\Rightarrow(t-1)(t+2)=0\Rightarrow t=1\) oder \(t=-2\). Die Falle: Wer nur probiert, findet \(t=1\) und hört auf. Weil \(t\) zweimal als Faktor vorkommt, entsteht eine quadratische Gleichung.
Das Skalarprodukt enthält \(t\cdot t\).
Lösen Sie \(t^2+t-2=0\) z. B. mit der p-q-Formel.
A10
Stimmt das immer?
AFB III

Beurteilen Sie die Aussagen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Orthogonalität ist nicht „übertragbar“: Aus zwei rechten Winkeln folgt kein dritter.
Suchen Sie Gegenbeispiele mit den Einheitsvektoren \((1|0|0)\), \((0|1|0)\), \((0|0|1)\).
Bei Diagonalen hilft die Darstellung \(\vec a+\vec b\) und \(\vec b-\vec a\).