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Abituraufgaben: Orthogonalität von Vektoren

Ein Carportdach und ein Dreieck mit Parameter — rechte Winkel nachweisen, suchen und ausschließen.

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Ein rechteckiges Carportdach?

AFB I–II

Das Dach eines Carports hat die Eckpunkte \(A(0|0|3)\), \(B(4|0|3)\), \(C(4|6|4{,}5)\) und \(D(0|6|4{,}5)\) (in m). Es soll mit rechteckigen Platten gedeckt werden.

Carportdach
x₁x₂x₃ABCD
Dachfläche \(ABCD\), Maße in m; das Dach steigt nach hinten an.
  1. Zeigen Sie, dass \(ABCD\) ein Parallelogramm ist.
  2. Weisen Sie nach, dass das Dach sogar rechteckig ist.
  3. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche.
  4. Begründen Sie, warum man den rechten Winkel nicht aus dem Schrägbild ablesen darf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleichen Sie \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{DC}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechteck: Länge mal Breite, beide als Beträge.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie werden Winkel im Schrägbild dargestellt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(4|0|0)=\overrightarrow{DC}\). Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang — \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AD}=(0|6|1{,}5)\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0+0+0=0\). Rechter Winkel bei \(A\) — das Parallelogramm ist ein Rechteck.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(|\overrightarrow{AB}|=4\), \(|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{36+2{,}25}=\sqrt{38{,}25}\approx6{,}18\). \(A\approx4\cdot6{,}18\approx24{,}7\ \text{m}^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Im Schrägbild wird die \(x_1\)-Achse schräg und verkürzt gezeichnet. Winkel zwischen Kanten erscheinen dadurch verzerrt: Rechte Winkel sehen oft stumpf oder spitz aus und umgekehrt. Nur die Rechnung mit dem Skalarprodukt ist ein Nachweis.

2

Rechte Winkel mit Parameter

AFB II–III

Gegeben sind die Punkte \(A(1|2|0)\), \(B(5|4|2)\) und für jede reelle Zahl \(t\) der Punkt \(C_t(t|0|4)\).

Dreieck mit wanderndem Punkt
x₁x₂x₃ABC₀C₆
\(A\) und \(B\) fest, \(C_t\) wandert auf einer Parallelen zur \(x_1\)-Achse.
  1. Ermitteln Sie den Wert von \(t\), für den das Dreieck \(ABC_t\) bei \(A\) rechtwinklig ist.
  2. Untersuchen Sie, für welche \(t\) ein rechter Winkel bei \(B\) bzw. bei \(C_t\) entsteht.
  3. Nehmen Sie Stellung zu Lenas Behauptung: „Weil \(t\) beliebig ist, lässt sich an jeder Ecke ein rechter Winkel erzeugen.“
  4. Bestimmen Sie für \(t=0\) den Flächeninhalt des Dreiecks.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Beide Vektoren beginnen in \(A\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei weitere Bedingungen aufstellen. Bei \(C_t\) entsteht eine quadratische Gleichung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Beziehen Sie sich auf das Ergebnis von b) und deuten Sie es geometrisch.
Hinweis zu Aufgabe d)
Der rechte Winkel liegt bei \(A\) — die Katheten sind bekannt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(4|2|2)\), \(\overrightarrow{AC_t}=(t-1|{-}2|4)\): \(4(t-1)-4+8=0\Rightarrow4t=0\Rightarrow t=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Bei \(B\): \(\overrightarrow{BA}=(-4|{-}2|{-}2)\), \(\overrightarrow{BC_t}=(t-5|{-}4|2)\): \(-4t+20+8-4=0\Rightarrow t=6\).

Bei \(C_t\): \((1-t|2|{-}4)\cdot(5-t|4|{-}2)=t^2-6t+5+8+8=t^2-6t+21=0\). Diskriminante \(36-84<0\): keine Lösung. Bei \(C_t\) ist nie ein rechter Winkel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch: An den Ecken \(A\) und \(B\) gibt es je genau ein passendes \(t\), an \(C_t\) keines. Geometrisch: Die Punkte \(C_t\) liegen auf einer Geraden. Ein rechter Winkel bei \(C_t\) verlangt, dass \(C_t\) auf der Kugel mit dem Durchmesser \(\overline{AB}\) liegt (Satz des Thales im Raum) — diese Gerade verfehlt die Kugel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{24}\), \(|\overrightarrow{AC_0}|=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\). \(A=\tfrac12\sqrt{24}\cdot\sqrt{21}=\tfrac12\sqrt{504}\approx11{,}22\ \text{FE}\).