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Abituraufgaben: Lage zweier Geraden

Diagonalen im Quader und eine Seilbahn unter der Stromleitung — Lagebeziehungen prüfen und deuten.

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Diagonalen im Quader

AFB I–II

Ein Quader hat die Ecken \(A(4|0|0)\), \(B(4|6|0)\), \(C(0|6|0)\), \(D(0|0|0)\) sowie \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) jeweils 3 Einheiten darüber.

Quader mit Diagonalen
x₁x₂x₃ABCDEFGH
Quader \(ABCDEFGH\), Raumdiagonalen \(\overline{AG}\) (blau) und \(\overline{EC}\) (orange).
  1. Stellen Sie Gleichungen der Geraden \(g\) durch \(A\) und \(G\) sowie \(h\) durch \(E\) und \(C\) auf.
  2. Untersuchen Sie die Lage von \(g\) und \(h\) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
  3. Weisen Sie nach, dass \(g\) und die Gerade \(k\) durch \(B\) und \(F\) windschief sind.
  4. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, warum sich alle vier Raumdiagonalen des Quaders in einem Punkt schneiden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stützpunkt und Richtungsvektor „Spitze minus Fuß“.
Hinweis zu Aufgabe b)
Richtungen vergleichen, dann gleichsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(k\colon\ \vec x=(4|6|0)+t\cdot(0|0|1)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie liegt der Mittelpunkt zu den Enden einer Diagonale?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(g\colon\ \vec x=(4|0|0)+r\cdot(-4|6|3)\), \(h\colon\ \vec x=(4|0|3)+s\cdot(-4|6|{-}3)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Richtungen sind nicht kollinear (\(3\) gegen \(-3\) bei gleichen übrigen Koordinaten). I: \(4-4r=4-4s\Rightarrow r=s\); III: \(3r=3-3s\Rightarrow r=0{,}5\). II: \(3=3\) ✓. Schnittpunkt \(S(2|3|1{,}5)\) — der Mittelpunkt des Quaders.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\((-4|6|3)\) ist kein Vielfaches von \((0|0|1)\). I: \(4-4r=4\Rightarrow r=0\); II: \(6r=6\Rightarrow r=1\) — Widerspruch. Kein gemeinsamer Punkt bei verschiedenen Richtungen: windschief.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Jede Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken, ihr Mittelpunkt ist \(\tfrac12\)(Ecke + Gegenecke). Bei einem Quader ist das für alle vier Diagonalen derselbe Punkt, der Mittelpunkt \((2|3|1{,}5)\). Alle Diagonalen gehen also durch diesen Punkt.

2

Seilbahn unter der Stromleitung

AFB II–III

Eine Stromleitung verläuft geradlinig entlang \(l_1\colon\ \vec x=(0|0|20)+r\cdot(10|5|0)\), eine Seilbahn entlang \(l_2\colon\ \vec x=(40|0|0)+s\cdot(-5|5|2)\) (Angaben in m). Laut Vorschrift muss die Seilbahn senkrecht unter einer Leitung mindestens 10 m Abstand haben.

Seilbahn unter einer Stromleitung
x₁x₂x₃PQ
Stromleitung \(l_1\) (blau) in 20 m Höhe, Seilbahn \(l_2\) (orange), Maße in m; Höhen überhöht dargestellt.
  1. Zeigen Sie, dass \(l_1\) und \(l_2\) windschief sind.
  2. Ermitteln Sie den Punkt der Seilbahn, der senkrecht unter der Leitung liegt, und den senkrechten Abstand.
  3. Beurteilen Sie, ob die Vorschrift eingehalten wird.
  4. Nehmen Sie Stellung zu der Behauptung: „Der senkrechte Abstand ist auch der kleinste Abstand zwischen Leitung und Seilbahn.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Kollinearität prüfen, dann gleichsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gleiche \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten: Das sind genau die Gleichungen I und II.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie mit 10 m.
Hinweis zu Aufgabe d)
Muss die kürzeste Verbindung zweier windschiefer Geraden senkrecht (lotrecht) verlaufen?Stellung nehmen: begründet zustimmen oder widersprechen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\((10|5|0)\) und \((-5|5|2)\) sind nicht kollinear. I: \(10r=40-5s\), II: \(5r=5s\Rightarrow r=s\), eingesetzt: \(15r=40\Rightarrow r=\tfrac83\). III: \(20=2s=\tfrac{16}{3}\) — Widerspruch. Die Geraden sind windschief.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit \(r=s=\tfrac83\): Seilbahnpunkt \((26{,}67|13{,}33|5{,}33)\), Leitungspunkt \((26{,}67|13{,}33|20)\). Senkrechter Abstand \(20-\tfrac{16}{3}=\tfrac{44}{3}\approx14{,}67\ \text{m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(14{,}67\ \text{m}>10\ \text{m}\): Die Vorschrift für den senkrechten Abstand ist erfüllt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Behauptung stimmt im Allgemeinen nicht. Die kürzeste Verbindung zweier windschiefer Geraden steht auf beiden Richtungen senkrecht; hier ist \((0|0|1)\) zwar orthogonal zu \((10|5|0)\), aber nicht zu \((-5|5|2)\). Die kürzeste Verbindung verläuft daher schräg und ist kürzer als 14,67 m. Für die Sicherheit müsste man sie zusätzlich prüfen.