MINT lernen

Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben von der Fontäne bis zum Minigolf-Hügel — erst übersetzen, dann rechnen, dann deuten.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
2

Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst die Situation in Bedingungen übersetzen, dann das LGS von Hand oder mit dem GTR lösen und das Ergebnis deuten — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Wasserfontäne
AFB II

Aus einer Düse am Beckenrand steigt ein Wasserstrahl bogenförmig auf. Er tritt im Ursprung aus, erreicht in 2 m Entfernung seine größte Höhe von 2 m und trifft 4 m von der Düse entfernt wieder auf Höhe 0 auf. Modell: f(x) = ax² + bx + c.

Stelle die Bedingungen auf. a) Welchen Wert hat a? b) Wie hoch ist der Strahl 1 m von der Düse entfernt?

m
Ansatz: Drei Bedingungen: f(0) = 0, f(4) = 0 und f(2) = 2 (alternativ f′(2) = 0).
Rechenweg: c = 0; 16a + 4b = 0 → b = −4a; 4a + 2b = 2 → 4a − 8a = 2 → a = −0,5, b = 2.
Lösung: a) −0,5 b) 1,5 m
Vollständige Lösung
Mit c = 0 bleibt I: 16a + 4b = 0 und II: 4a + 2b = 2. Aus I folgt b = −4a, eingesetzt in II: −4a = 2, also a = −0,5 und b = 2. Damit f(x) = −0,5x² + 2x und f(1) = −0,5 + 2 = 1,5. Der Strahl ist 1 m vor der Düse 1,5 m hoch. Hinweis: Der Ursprung in der Düse liefert sofort c = 0 — ein gut gewähltes Koordinatensystem spart eine Gleichung.
123412xyDüseRand
Wasserstrahl, 1 LE = 1 m
A2
Abfahrt einer Achterbahn
AFB II

Eine Achterbahn beginnt ihre Abfahrt im Hochpunkt H(0 | 30) und erreicht im Tiefpunkt T(40 | 6) die tiefste Stelle (Angaben in m). Dazwischen soll das Profil durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden.

Ermittle den Funktionsterm. a) In welcher Höhe fährt der Wagen bei x = 10 m? b) Das stärkste Gefälle liegt genau in der Mitte bei x = 20. Wie groß ist es in Prozent?

m
%
Ansatz: Vier Bedingungen: f(0) = 30, f′(0) = 0, f(40) = 6, f′(40) = 0.
Rechenweg: d = 30, c = 0; 64000a + 1600b = −24 und 4800a + 80b = 0 → b = −60a → 64000a − 96000a = −24 → a = 0,00075, b = −0,045.
Lösung: a) 26,25 m b) 90 %
Vollständige Lösung
Mit f(x) = 0,00075x³ − 0,045x² + 30 ergibt sich f(10) = 0,75 − 4,5 + 30 = 26,25 m. f′(x) = 0,00225x² − 0,09x, also f′(20) = 0,9 − 1,8 = −0,9. Ein Gefälle von 0,9 entspricht 90 %. Hinweis: Die Koeffizienten sind klein — nicht runden, sonst stimmt die Höhe im Tiefpunkt nicht mehr.
10203040102030xyHT
Abfahrt zwischen H und T (in m)
A3
Kosten einer Kleinserie
AFB II

Eine Werkstatt fertigt Lampen. Für 0, 10 und 20 Stück fallen Kosten von 100 €, 180 € und 300 € an. Die Kosten sollen durch K(x) = ax² + bx + c beschrieben werden.

Bestimme die Koeffizienten ohne Rechner. a) Welchen Wert hat a? b) Welche Kosten sagt das Modell für 30 Stück voraus?

€
Ansatz: c = K(0) = 100; die beiden anderen Punkte liefern ein 2×2-System für a und b.
Rechenweg: I: 100a + 10b = 80, II: 400a + 20b = 200. II − 2 · I: 200a = 40.
Lösung: a) 0,2 b) 460 €
Vollständige Lösung
Aus 200a = 40 folgt a = 0,2, eingesetzt in I: 20 + 10b = 80, also b = 6. K(x) = 0,2x² + 6x + 100, K(30) = 180 + 180 + 100 = 460 €. Hinweis: c = 100 sind die Fixkosten, die auch ohne Produktion anfallen.
A4
Querschnitt eines Grabens
AFB II

Ein Wassergraben hat die Ränder A(0 | 0) und B(4 | 0) (Angaben in m); die tiefste Stelle liegt bei x = 2. Ansatz: f(x) = ax² + bx + c. Aus diesen drei Angaben entsteht ein LGS.

Untersuche die Lösbarkeit. a) Welche Zahl steht nach dem Gauß-Verfahren rechts in der letzten Zeile 0 = □? b) Der Graben ist 0,8 m tief. Welchen Wert hat a dann?

Ansatz: Bedingungen f(0) = 0, f(4) = 0, f′(2) = 0 aufschreiben und in Stufenform bringen.
Rechenweg: c = 0; 16a + 4b = 0; 4a + b = 0. Die zweite Gleichung ist das Vierfache der dritten → 0 = 0. Mit f(2) = −0,8: 4a + 2b = −0,8 und b = −4a.
Lösung: a) 0 b) 0,2
Vollständige Lösung
Die Bedingung f′(2) = 0 steckt schon in der Symmetrie der beiden Ränder — die letzte Zeile lautet 0 = 0, es gibt unendlich viele Lösungen f(x) = ax² − 4ax. Erst die Tiefe legt a fest: f(2) = 4a − 8a = −4a = −0,8, also a = 0,2 und f(x) = 0,2x² − 0,8x. Hinweis: 0 = 0 heißt nicht „Lösung 0“, sondern: Eine Bedingung war überflüssig.
1234−1xyAB
Grabenquerschnitt in m, Tiefe noch offen
A5
BMX-Strecke mit zwei Wellen
AFB II

Das Profil einer BMX-Strecke wird an vier Stellen vermessen (x in m, y in dm): (0 | 10), (2 | 13), (4 | 10) und (6 | 13). Durch diese Punkte soll der Graph einer Funktion dritten Grades gehen.

Berechne die Koeffizienten mit dem GTR (MENU › Gleichung › F1 SIMUL › F3 für vier Unbekannte). a) Welchen Wert hat a? b) Wie hoch ist die Strecke bei x = 3 m?

dm
Ansatz: Vier Punktbedingungen f(0) = 10, f(2) = 13, f(4) = 10, f(6) = 13 → vier Gleichungen in a, b, c, d.
Rechenweg: Zeilen für den GTR: 0 0 0 1 | 10; 8 4 2 1 | 13; 64 16 4 1 | 10; 216 36 6 1 | 13.
Lösung: a) 0,25 b) 11,5 dm
Vollständige Lösung
Der GTR liefert a = 0,25, b = −2,25, c = 5, d = 10. f(3) = 6,75 − 20,25 + 15 + 10 = 11,5. Die Strecke ist bei x = 3 m also 11,5 dm = 1,15 m hoch. Hinweis: Zeile 1 enthält drei Nullen — sie müssen mit eingegeben werden, sonst verrutschen die Spalten.
A6
Rohrbogen im Keller
AFB II

Ein Abflussrohr fällt geradlinig entlang y = −x bis zum Punkt A(0 | 0). Ab B(2 | −2) verläuft ein waagerechtes Rohr (Angaben in m). Ein Rohrbogen f vom Grad 3 soll beide Rohre knickfrei verbinden.

Leite die vier Bedingungen aus der Skizze her. a) Welchen Wert hat a? b) Welchen Wert hat b?

Ansatz: Je Nahtstelle Punkt und Steigung: f(0) = 0, f′(0) = −1, f(2) = −2, f′(2) = 0.
Rechenweg: d = 0, c = −1; 8a + 4b − 2 = −2 → 8a + 4b = 0; 12a + 4b − 1 = 0 → 12a + 4b = 1; Differenz: 4a = 1.
Lösung: a) 0,25 b) −0,5
Vollständige Lösung
Aus 4a = 1 folgt a = 0,25 und aus 8a + 4b = 0 folgt b = −0,5. Der Rohrbogen ist f(x) = 0,25x³ − 0,5x² − x für 0 ≤ x ≤ 2. Probe: f(2) = 2 − 2 − 2 = −2, f′(2) = 3 − 2 − 1 = 0. Hinweis: Die Steigung −1 am linken Ende stammt aus dem geraden Rohr y = −x, nicht aus der Skizze des Bogens.
−2−1123−2−112xyAB
Rohre (gestrichelt) und Bogen, in m
A7
Mulde für ein Planschbecken
AFB II

Ein Planschbecken soll als 6 m breite Mulde mit dem Querschnitt fk(x) = k · x · (x − 6) angelegt werden (x, y in m). In der Mitte soll es 1,8 m tief sein.

Löse die Bedingung nach k auf. a) Welchen Wert hat k? b) Unter welchem Winkel fällt der Rand bei x = 0 ab (auf eine Nachkommastelle)?

°
Ansatz: Mitte x = 3: fk(3) = −1,8. Für b) die Steigung fk′(0) bestimmen und m = tan α nutzen.
Rechenweg: fk(3) = k · 3 · (−3) = −9k = −1,8 → k = 0,2; fk(x) = 0,2x² − 1,2x, fk′(0) = −1,2.
Lösung: a) 0,2 b) 50,2°
Vollständige Lösung
k = 0,2. Am Rand ist f′(0) = −1,2; tan α = 1,2 ergibt α ≈ 50,2°. Der Rand fällt also recht steil ab. Deutung: Die Nullstellen 0 und 6 hängen nicht von k ab — k regelt nur die Tiefe. Hinweis: Das Minuszeichen zeigt nur die Richtung (bergab); der Winkel selbst wird positiv angegeben.
A8
Bremsweg eines Autos
AFB II

Bei Versuchen wurde der Anhalteweg s (in m) bei verschiedenen Geschwindigkeiten v (in km/h) gemessen: 30 → 16, 50 → 34, 70 → 57, 90 → 90, 110 → 129. Mit dem GTR wird eine quadratische Regression durchgeführt (F2 CALC › F3 REG › F3 X²).

Werte das Ergebnis aus. a) Welchen Anhalteweg sagt die Regressionskurve für 130 km/h voraus (eine Nachkommastelle)? b) Wie groß ist die Abweichung r = y − f(70) beim Messwert für 70 km/h (zwei Nachkommastellen)?

m
m
Ansatz: Listen füllen, Regression Grad 2 ausführen, Koeffizienten ungerundet übernehmen (COPY).
Rechenweg: f(v) ≈ 0,0092857v² + 0,11v + 4,5714; f(130) ≈ 156,93 + 14,3 + 4,57; f(70) ≈ 57,77.
Lösung: a) 175,8 m b) −0,77 m
Vollständige Lösung
Die Regression liefert a ≈ 0,009286, b = 0,11, c ≈ 4,571 und r² ≈ 0,9998. f(130) ≈ 175,8 m. Bei 70 km/h liegt der Messwert 57 m etwas unter der Kurve: r = 57 − 57,77 ≈ −0,77 m. Hinweis: 130 km/h liegen außerhalb der Messreihe — die Prognose ist eine Extrapolation und mit Vorsicht zu genießen. Auch c ≈ 4,6 m bei v = 0 hat keine Bedeutung.
A9
Doppelhügel auf der Minigolfbahn
AFB II

Ein Minigolf-Hindernis hat zwei gleich hohe Hügel mit den Hochpunkten H₁(−2 | 3) und H₂(2 | 3) und dazwischen die Mulde T(0 | 1) (Angaben in dm). Das Profil ist achsensymmetrisch: f(x) = ax⁴ + bx² + c.

a) Welchen Wert hat a? b) Wie groß ist f(3)? Interpretiere dieses Ergebnis für die Bahn.

dm
Ansatz: Drei Bedingungen reichen: f(0) = 1, f(2) = 3, f′(2) = 0.
Rechenweg: c = 1; 16a + 4b = 2; f′(x) = 4ax³ + 2bx → 32a + 4b = 0; Differenz: 16a = −2.
Lösung: a) −0,125 b) −0,125 dm
Vollständige Lösung
a = −0,125, b = 1, c = 1, also f(x) = −0,125x⁴ + x² + 1. f(3) = −10,125 + 9 + 1 = −0,125: Das Modell läge bei x = 3 unter der Bahnebene. Es beschreibt das Hindernis nur zwischen seinen Nullstellen (etwa |x| ≤ 2,98). Hinweis: Die Bedingungen am linken Hügel folgen aus der Symmetrie und dürfen nicht noch einmal gezählt werden.
−3−2−1123123xyH₁H₂T
Doppelhügel, Angaben in dm
A10
Bergstraße mit Aussichtspunkt
AFB II

Eine Bergstraße beginnt im Tal im Ursprung. Am Aussichtspunkt S(2 | 4) verläuft sie kurz waagerecht und steigt danach weiter an — dort liegt ein Sattelpunkt (x in 100 m, y in 10 m). Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

Erläutere, welche vier Bedingungen die Beschreibung liefert. a) Welchen Wert hat a? b) Wie hoch liegt die Straße bei x = 4?

LE
Ansatz: Sattelpunkt: f(2) = 4, f′(2) = 0 und f″(2) = 0; dazu f(0) = 0.
Rechenweg: d = 0; 8a + 4b + 2c = 4; 12a + 4b + c = 0; 12a + 2b = 0 → b = −6a, c = 12a; 8a − 24a + 24a = 4.
Lösung: a) 0,5 b) 8
Vollständige Lösung
Aus 8a = 4 folgt a = 0,5, b = −3, c = 6: f(x) = 0,5x³ − 3x² + 6x = 0,5(x − 2)³ + 4. f(4) = 32 − 48 + 24 = 8, also 80 m über dem Tal nach 400 m. Hinweis: „Kurz waagerecht und danach weiter steigend“ ist kein Hochpunkt — deshalb f″(2) = 0 statt eines Vorzeichenwechsels von f′.