Keine Kurve trifft alle Messpunkte — aber eine hat die kleinste Summe der Abweichungsquadrate.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zur Regression — Abweichungsquadrate rechnen, das Statistik-Menü bedienen und entscheiden, wann eine Ausgleichskurve besser ist als eine Kurvenanpassung. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei einigen helfen dir zwei gestufte Tipps.
A1
Was stimmt über die Regression?
AFB I
Markiere alle zutreffenden Aussagen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Regression minimiert die Summe der Abweichungsquadrate — ob dabei ein Punkt genau getroffen wird, spielt keine Rolle. Gut ist r² nahe 1. Den Grad wählst du selbst, der GTR rechnet jede Regression aus, auch eine unpassende.
A2
Stimmt's? — Fünferserie zu S und r²
AFB I
Fünf Behauptungen zur Summe der Abweichungsquadrate S und zur GTR-Ausgabe.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Merke: S = r₁² + r₂² + … + rₙ² misst den Abstand aller Punkte zur Kurve. Die Regression macht S so klein wie möglich, r² nahe 1 zeigt eine gute Passung.
A3
Regression im Statistik-Menü
AFB I
Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Für eine Regression öffnet man MENU › und trägt die x-Werte in ein. Unter F2 (CALC) › F6 ( ) legt man fest, welche Listen verwendet werden. F3 (REG) › F4 ( ) liefert die Ausgleichskurve dritten Grades. Je näher an 1 liegt, desto besser passt die Kurve.
SIMUL gehört ins Menü Gleichung: Damit löst man das LGS einer Kurvenanpassung, nicht eine Regression.
A4
Anpassung, Regression — oder beides?
AFB II
Sortiere die Aussagen danach, für welches Verfahren sie gelten.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nur Kurvenanpassung
2nur Regression
3bei beiden
Der Unterschied liegt in den Punkten: Die Anpassung nutzt genau n + 1 Punkte und trifft sie exakt, die Regression nutzt alle und trifft meist keinen.
A5
Summe der Abweichungsquadrate
AFB II
Eine Ausgleichsparabel lautet f(x) = 0,5x² − x + 2. Berechne S für die drei Messpunkte P(0|2,5), Q(2|1,5) und R(4|6,5).
Ansatz: Berechne zuerst f(0), f(2) und f(4).
Zwischenschritt: Die Abweichungen sind 0,5, −0,5 und 0,5. Jetzt quadrieren und addieren.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
f(0) = 2, f(2) = 2, f(4) = 6. Abweichungen: r = 0,5; −0,5; 0,5. S = 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75. Typischer Fehler: die Abweichungen addieren (0,5) statt ihre Quadrate.
A6
Kubische Regression mit dem GTR
AFB II
Bringe die Bedienschritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1MENU › Statistik öffnen
2x-Werte in List 1, y-Werte in List 2 eintragen
3F2 (CALC) › F6 (SET): 2Var XList = List1, 2Var YList = List2, zurück mit EXIT
4F3 (REG) › F4 (X³) wählen
5a, b, c, d und r² ablesen, die Kurve mit COPY in den Graph-Editor übernehmen
Oft vergessen: SET. Stehen dort noch Listen aus einer früheren Rechnung, rechnet der GTR mit den falschen Daten — ohne Warnung.
A7
Anpassung gegen Regression
AFB II
Ein Wagen rollt eine schiefe Ebene hinab, ein Sensor misst seinen Abstand y (in m) nach x Sekunden: (0|0,8), (1|1,9), (2|3,0), (3|5,1), (4|9,2). Die Parabel g durch die Punkte bei x = 0, 2 und 4 lautet g(x) = 0,5x² + 0,1x + 0,8. Die quadratische Regression liefert f(x) = 0,5x² + 1.
Ansatz: Die Anpassungsparabel trifft drei Punkte genau — dort ist r = 0. Nur x = 1 und x = 3 tragen zu ihrem S bei.
Zwischenschritt: Für f: f(0) = 1, f(1) = 1,5, f(2) = 3, f(3) = 5,5, f(4) = 9. Bilde y − f(x), quadriere und addiere.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
g(1) =m
Abweichung r = y − g(1) beim Punkt (1|1,9)m
S für die Anpassungsparabel g (alle fünf Punkte)m²
S für die Regressionsparabel f (alle fünf Punkte)m²
g trifft x = 0, 2, 4 exakt; bei x = 1 und x = 3 weicht sie um 0,5 und −0,5 ab: S = 0,5. f trifft keinen Punkt, die Abweichungen sind −0,2; 0,4; 0; −0,4; 0,2: S = 0,04 + 0,16 + 0 + 0,16 + 0,04 = 0,4. Die Regression hat das kleinere S, obwohl sie keinen Punkt trifft.
A8
Gemischt: Welches Verfahren passt?
AFB III
Ordne jeder Situation das passende Vorgehen zu.
Strategie: Frage zuerst: Soll der Graph Punkte exakt treffen oder gibt es streuende Messwerte?
Unterscheidung: Bei exakten Vorgaben entscheidet die Zahl der Bedingungen über den Grad, bei Messwerten die Form der Punktwolke.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Exakte Vorgaben → Kurvenanpassung bzw. Steckbrief (LGS). Streuende Messwerte → Regression, den Grad verrät die Form der Punktwolke: ein Scheitel → Grad 2, Hoch- und Tiefpunkt → Grad 3.
A9
Fehlersuche im Regressionsprotokoll
AFB III
Ben protokolliert seine kubische Regression — drei Zeilen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten in Klausuren: das Runden von a. Weil x³ große Werte annimmt, verändert schon eine kleine Rundung von a den Graphen deutlich.
A10
Trickaufgabe: Was passiert mit S?
AFB III
Ausgangspunkt ist jeweils eine Regression für sieben Messpunkte. Schätze für jede Änderung ein, was mit der Summe S der Abweichungsquadrate passiert — ohne zu rechnen.
Ansatz: Frage dich bei jeder Zeile: Ändern sich die einzelnen Abweichungen r — und wenn ja, wie?
Der Trick: Wie viele Punkte legen eine Funktion dritten Grades eindeutig fest? Was bedeutet das für die Regression mit genau so vielen Punkten?
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = S wird 0, 2 = S wird kleiner, 3 = S bleibt gleich, 4 = S wird größer, 5 = S wird viermal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = S wird 05 = S wird viermal so groß
Kubische statt quadratischer Regression für dieselben sieben Punkte
Alle y-Werte werden um 5 erhöht, dann neue Regression gleichen Grades
Alle y-Werte werden verdoppelt, dann neue Regression gleichen Grades
Statt kubischer Regression: Kurvenanpassung Grad 3 durch vier der sieben Punkte
Kubische Regression, aber nur mit vier der Messpunkte
Grad 3 enthält alle Parabeln (a = 0), kann also nicht schlechter sein. Verschieben ändert nur d, die Abweichungen bleiben. Verdoppeln verdoppelt jede Abweichung, die Quadrate werden viermal so groß. Die Anpassung ist nicht die beste Kurve, ihr S ist größer. Der Trick: Bei vier Punkten ist die kubische Regression genau die Kurvenanpassung — S = 0 und r² = 1.
