Wachstum einer Sonnenblume
AFB I–IIIm Schulgarten misst eine Klasse neun Wochen lang jede Woche die Höhe \(h\) (in cm) einer Sonnenblume. Die Zeit \(t\) wird in Wochen ab der Aussaat gezählt.
| t in Wochen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| h in cm | 8 | 15 | 30 | 52 | 80 | 108 | 132 | 148 | 156 |
Die Messwerte sollen durch eine ganzrationale Funktion \(f\) modelliert werden.
- Beschreiben Sie den Verlauf der Messwerte und begründen Sie damit, warum eine Funktion dritten Grades besser geeignet ist als eine Parabel.
- Ermitteln Sie mit dem GTR oder dem CAS die kubische Regressionsfunktion \(f\) (Koeffizienten auf vier gültige Ziffern) und das Bestimmtheitsmaß \(r^2\). Notieren Sie die Bedienschritte.
- Interpretieren Sie den Wert von \(r^2\) und den Koeffizienten \(d\) im Sachzusammenhang.
- Schätzen Sie ab, welche Höhe das Modell für Woche 12 liefert, und wie verlässlich dieser Wert ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Höhe nimmt zunächst langsam zu (7 cm, 15 cm pro Woche), in der Mitte am schnellsten (28 cm pro Woche) und am Ende wieder langsam (16 cm, 8 cm pro Woche). Die Punktwolke ist S-förmig mit einer Wendestelle etwa bei Woche 5.
Eine Parabel hat keine Wendestelle, ihre Steigung ändert sich immer gleichmäßig. Eine Funktion dritten Grades kann den Übergang von immer schneller zu immer langsamer wachsen abbilden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bedienung (GTR): MENU › Statistik; \(t\)-Werte in List 1, \(h\)-Werte in List 2; F2 (CALC) › F6 (SET): 2Var XList = List1, 2Var YList = List2, EXIT; F3 (REG) › F4 (X³).
Ergebnis: \(f(t)\approx-0{,}5800t^3+8{,}826t^2-17{,}07t+17{,}35\) mit \(r^2\approx0{,}9998\). (CAS: CubicReg liefert dieselben Werte in stat.results.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(r^2\approx0{,}9998\) liegt sehr nahe an 1: Die kubische Funktion beschreibt die Messwerte im Zeitraum von Woche 1 bis 9 fast perfekt, die Abweichungen betragen höchstens gut 1 cm.
\(d\approx17{,}35\) wäre die Höhe zum Zeitpunkt \(t=0\), also bei der Aussaat. Ein gerade gesätes Korn ist aber nicht 17 cm hoch — für \(t=0\) liegt keine Messung vor, das Modell gilt dort nicht. \(d\) hat hier keine sinnvolle Bedeutung im Sachkontext.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(f(12)\approx81\,\text{cm}\) — das Modell sagt voraus, dass die Sonnenblume nach Woche 9 (156 cm) wieder um rund 75 cm schrumpft; für Woche 14 würde es sogar eine negative Höhe liefern.
Der Wert ist unbrauchbar: Woche 12 liegt außerhalb des Messbereichs, der negative Leitkoeffizient lässt den Graphen dort stark fallen. Realistisch ist, dass die Pflanze ungefähr bei ihrer Endhöhe von gut 150 bis 160 cm bleibt. Prognosen sind nur im Messbereich verlässlich.
Wie viel verbraucht das Auto?
AFB II–IIIEin Automagazin misst den Kraftstoffverbrauch eines Kleinwagens bei konstanter Geschwindigkeit \(v\) (in km/h) auf ebener Strecke:
| v in km/h | 30 | 50 | 70 | 90 | 110 | 130 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Verbrauch in l/100 km | 6,8 | 5,6 | 5,3 | 5,8 | 6,9 | 8,4 |
Tom wählt die drei Messpunkte bei \(30\), \(70\) und \(130\,\text{km/h}\) aus und legt eine Parabel \(g\) exakt hindurch. Lina rechnet mit allen sechs Messwerten eine quadratische Regression und erhält \(f(v)\approx0{,}0008527v^2-0{,}1187v+9{,}512\).
- Bestimmen Sie Toms Parabel \(g\) mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
- Vergleichen Sie die beiden Modelle anhand der Summe der Abweichungsquadrate über alle sechs Messwerte.
- Deuten Sie den Scheitelpunkt von Linas Parabel im Sachzusammenhang.
- Das Magazin möchte mit einem der Modelle auch den Verbrauch bei \(180\,\text{km/h}\) und bei \(10\,\text{km/h}\) angeben. Diskutieren Sie, welches Modell geeigneter ist und ob diese Angaben sinnvoll sind.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } 900a+30b+c=6{,}8\), \(\text{II: } 4900a+70b+c=5{,}3\), \(\text{III: } 16900a+130b+c=8{,}4\).
GTR (MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) › F2) bzw. CAS: \(a=\tfrac{107}{120000}\approx0{,}0008917\), \(b=-\tfrac{19}{150}\approx-0{,}1267\), \(c=9{,}7975\).
\(g(v)\approx0{,}0008917v^2-0{,}1267v+9{,}798\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Toms Parabel: Abweichungen \(0\); \(-0{,}093\); \(0\); \(0{,}180\); \(0{,}247\); \(0\) → \(S_g\approx0{,}0087+0{,}0324+0{,}0608\approx0{,}102\).
Linas Parabel: Abweichungen \(0{,}082\); \(-0{,}108\); \(-0{,}080\); \(0{,}066\); \(0{,}129\); \(-0{,}089\) → \(S_f\approx0{,}054\).
Tom trifft drei Punkte exakt, liegt aber bei 90 und 110 km/h deutlich daneben. Linas Regression trifft keinen Punkt, ihre Summe der Abweichungsquadrate ist aber nur etwa halb so groß — sie beschreibt die Messreihe insgesamt besser.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(v)=2\cdot0{,}0008527v-0{,}1187=0\Rightarrow v\approx69{,}6\); \(f(69{,}6)\approx5{,}38\).
Laut Modell fährt der Wagen bei etwa \(70\,\text{km/h}\) am sparsamsten und verbraucht dort rund \(5{,}4\,\text{l}\) auf \(100\,\text{km}\). Langsamer und schneller steigt der Verbrauch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Geeigneter ist Linas Modell: Es nutzt alle Messwerte, hat das kleinere \(S\) und hängt nicht von der zufälligen Auswahl dreier Punkte ab. Im Messbereich unterscheiden sich beide Modelle aber nur um wenige Hundertstel Liter.
\(180\,\text{km/h}\): \(f(180)\approx15{,}8\) (Tom: \(\approx15{,}9\)). Der Wert liegt weit außerhalb des Messbereichs; ob der Verbrauch dort weiter quadratisch steigt, ist nicht belegt. Die Angabe ist höchstens eine grobe Schätzung.
\(10\,\text{km/h}\): \(f(10)\approx8{,}4\), Tom \(\approx8{,}6\) — die Modelle weichen außerhalb des Messbereichs voneinander ab. Bei so geringer Geschwindigkeit fährt das Auto in einem anderen Gang, das Modell ist dort nicht überprüft. Für \(v=0\) liefert es sogar \(9{,}5\,\text{l}/100\,\text{km}\), obwohl das Auto keine Strecke zurücklegt.
Ergebnis: Das Magazin sollte Linas Modell nur für Geschwindigkeiten zwischen etwa 30 und 130 km/h verwenden und beide Zusatzangaben weglassen oder deutlich als unsichere Schätzung kennzeichnen.