Hilfsmittelfreier Teil — ohne Rechner und Formelsammlung
20 PunkteOrdne jeder Eigenschaft des Graphen von f die passende Bedingung zu.
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Erwartungshorizont: y-Achse bei 2 → f(0) = 2; Wendestelle bei 1 → f″(1) = 0; Steigung −3 an der Stelle 2 → f′(2) = −3; Nullstelle −2 → f(−2) = 0. Je 1 P.
Löse das LGS ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren.
I: a + 2b − c = 9 · II: 2a − b + c = 0 · III: −a + b + 2c = −1
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Erwartungshorizont: II − 2 · I: −5b + 3c = −18; III + I: 3b + c = 8 → c = 8 − 3b; −5b + 24 − 9b = −18 → b = 3, c = −1; aus I: a = 9 − 6 − 1 = 2. Lösung (2 | 3 | −1), je 1 P; Rechenweg wird in der echten Klausur mitbewertet.
Gegeben ist f(x) = −2x⁴ + 3x² − 1.
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Erwartungshorizont: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch; Leitkoeffizient −2 bei geradem Grad → beide Enden nach unten; Grad 4 → höchstens 3 Extremstellen. f(0) = −1. Je richtige Auswahl 1 P, je Fehlklick 1 P Abzug.
Der Graph einer Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat den Tiefpunkt T(1 | −2).
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Erwartungshorizont: f(1) = −2 → a + c = −2 (1 P); f′(1) = 0 → 3a + c = 0 (1 P); Subtraktion: 2a = 2 → a = 1, c = −3 (je 1 P, zusammen mit Rechnung 4 P). Wegen der Punktsymmetrie liegt bei x = −1 der Hochpunkt H(−1 | 2) (1 P).
Gesucht ist eine Parabel f(x) = ax² + bx + c durch P(−1 | 3) und Q(3 | 3) mit dem Scheitel bei x = 1. Die drei Bedingungen werden in Stufenform gebracht.
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Erwartungshorizont: P und Q liegen symmetrisch zu x = 1, deshalb steckt f′(1) = 0 schon in f(−1) = f(3): Die Stufenform endet mit 0 = 0, es gibt unendlich viele Parabeln f(x) = ax² − 2ax + 3 − 3a (1 P). Mit f(1) = 0: a − 2a + 3 − 3a = 0 → a = 0,75 (2 P), b = −1,5, c = 0,75 (2 P). f(x) = 0,75(x − 1)².
Teil mit digitalem Werkzeug — GTR (Casio fx-CG50) oder CAS (TI-Nspire CX CAS)
40 PunkteDas Höhenprofil einer Radtour wird an vier Stellen gemessen (x in km, Höhe in m über NN): A(0 | 120), B(2 | 150), C(4 | 170), D(6 | 120). Es soll durch eine Funktion dritten Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d beschrieben werden.
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Erwartungshorizont: a) I: d = 120; II: 8a + 4b + 2c + d = 150; III: 64a + 16b + 4c + d = 170; IV: 216a + 36b + 6c + d = 120 → a = −1,25, b = 6,25, c = 7,5, d = 120 (je 1 P). b) f(3) = −33,75 + 56,25 + 22,5 + 120 = 165 m (1 P). c) f′(x) = −3,75x² + 12,5x + 7,5; f′(5) = −23,75 m pro km = −2,375 % ≈ −2,4 % (2 P, 1 P für die Umrechnung 1 km = 1000 m). d) f′(x) = 0 ⇔ x² − 10/3 · x − 2 = 0 → x = (5 + √43)/3 ≈ 3,85 km, Vorzeichenwechsel von + nach − (3 P); höchste Stelle etwa 170,2 m.
In einer Karte (1 LE = 100 m) verläuft eine Straße für x ≤ 0 entlang der Geraden g(x) = 0,25x, eine zweite für x ≥ 10 entlang h(x) = −0,25x + 7,5. Für 0 ≤ x ≤ 10 soll ein Verbindungsstück f vom Grad 3 beide Straßen sprung- und knickfrei verbinden.
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Erwartungshorizont: a) vier Bedingungen f(0) = 0, f′(0) = 0,25, f(10) = h(10) = 5, f′(10) = −0,25 (1 P). b), c) d = 0, c = 0,25; 1000a + 100b = 2,5; 300a + 20b = −0,5 → a = −0,01, b = 0,125 (je 2 P). f(x) = −0,01x³ + 0,125x² + 0,25x. d) f(5) = −1,25 + 3,125 + 1,25 = 3,125 LE, also 312,5 m (1 P). e) f″(x) = −0,06x + 0,25; f″(0) = 0,25, die Gerade hat Krümmung 0 → nicht ruckfrei (2 P). f) f″(10) = −0,35 (2 P).
Ein Sprunghügel wird durch fa(x) = a · x · (x − 6)² mit a > 0 für 0 ≤ x ≤ 6 beschrieben (x, y in m). Der höchste Punkt liegt bei x = 2.
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Erwartungshorizont: a) fa(2) = 32a = 1,6 → a = 0,05 (2 P). b) fa′(x) = a(x − 6)(3x − 6), fa′(0) = 36a = 1,8, α = tan⁻¹(1,8) ≈ 60,9° (2 P). c) (x − 6)² ist eine doppelte Nullstelle: fa(6) = 0 und fa′(6) = 0 unabhängig von a (2 P). d) 36a ≤ tan 45° = 1 → a ≤ 1/36, Höhe 32a ≤ 32/36 ≈ 0,89 m (2 P).
Nach einem Starkregen wird der Pegel eines Baches gemessen (t in h, Pegel in cm):
t: 0 · 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12
Pegel: 180 · 215 · 232 · 236 · 226 · 212 · 196
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Erwartungshorizont: a) LGS mit f(0) = 180, f(4) = 232, f(8) = 226, f(12) = 196 → f(t) ≈ 0,08854t³ − 2,875t² + 23,083t + 180; f(14) ≈ 182,6 cm (2 P). b) GTR: F2 (CALC) › F3 (REG) › F4 (X³) → g(t) ≈ 0,08681t³ − 2,8661t² + 23,230t + 179,76, r² ≈ 0,999; g(14) ≈ 181,4 cm (2 P). c) g(6) ≈ 234,71, r ≈ 236 − 234,71 = 1,29 cm (2 P). d) richtig: exakt durch vier Punkte; S der Regression ist minimal (S ≈ 2,55 gegenüber S ≈ 3,67); Regression nutzt alle Werte (je 1 P, Fehlklick Abzug; 4 P gesamt). e) Für t = 48 wächst der kubische Term stark — beide Prognosen sind unbrauchbar (2 P).
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema (Oberstufe)
| Punkte | Notenpunkte | Beurteilung |
|---|---|---|
| 57 – 60 P | 15 | sehr gut + (Note 1) |
| 54 – 56 P | 14 | sehr gut (Note 1) |
| 51 – 53 P | 13 | sehr gut − (Note 1) |
| 48 – 50 P | 12 | gut + (Note 2) |
| 45 – 47 P | 11 | gut (Note 2) |
| 42 – 44 P | 10 | gut − (Note 2) |
| 39 – 41 P | 09 | befriedigend + (Note 3) |
| 36 – 38 P | 08 | befriedigend (Note 3) |
| 33 – 35 P | 07 | befriedigend − (Note 3) |
| 30 – 32 P | 06 | ausreichend + (Note 4) |
| 27 – 29 P | 05 | ausreichend (Note 4) |
| 24 – 26 P | 04 | ausreichend − (Note 4) |
| 20 – 23 P | 03 | mangelhaft + (Note 5) |
| 17 – 19 P | 02 | mangelhaft (Note 5) |
| 12 – 16 P | 01 | mangelhaft − (Note 5) |
| 0 – 11 P | 00 | ungenügend (Note 6) |