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Das Gauß-Verfahren

Tauschen, eliminieren, einsetzen — ein Rezept, das nie rät und deshalb auch ein Rechner ausführen kann.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III, mit einer Mix-Aufgabe zu früheren Unterkapiteln und einer Trickaufgabe. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du nicht weiterkommst, helfen die zwei gestuften Tipps.

A1
Welche Umformung ist erlaubt?
AFB I

Welche Umformungen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Mit 0 multipliziert wird aus III die Aussage 0 = 0 — eine Information geht verloren. Wer nur links etwas addiert, verändert die Gleichung selbst. Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung eines LGS. Erlaubt sind nur: mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren, Vielfache addieren/subtrahieren, tauschen.
Strategie: Eine Umformung ist erlaubt, wenn man sie wieder rückgängig machen kann.
Ansatz: Kann man „mal 0“ rückgängig machen? Bleibt eine Gleichung wahr, wenn man nur eine Seite ändert?
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über das Gauß-Verfahren.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Gauß = von oben nach unten Unbekannte entfernen (Stufenform), dann von unten nach oben einsetzen.
Strategie: Denke an das Bild der Treppe: Wo steht die kürzeste Gleichung?
Ansatz: Jede Umformung betrifft immer die ganze Gleichung. Tauschen ist nur ein Umsortieren.
A3
Memory der Zeilenoperationen
AFB I

Gegeben ist I: a + 2b − c = 4, II: 3a + b + 2c = 5, III: −2a + 4b + c = 1. Finde zu jeder Umformung die Gleichung, die dabei entsteht.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
II − 3·I und III + 2·I sind die beiden Schritte, die a aus II und III entfernen — genau so beginnt das Gauß-Verfahren. Kontrolle: Bei beiden steht vor a eine 0. Rechte Seite nicht vergessen: 5 − 3·4 = −7.
Strategie: Rechne jede Umformung spaltenweise: a-Spalte, b-Spalte, c-Spalte, rechte Seite.
Ansatz: Beispiel II − 3·I: 3 − 3 = 0, 1 − 6 = −5, 2 + 3 = 5, 5 − 12 = −7. Suche Karten mit passender rechter Seite zuerst.
A4
Wie weit ist das LGS schon?
AFB II

Jede Karte zeigt ein LGS (Gleichungen I | II | III). Sortiere nach dem nächsten Schritt des Gauß-Verfahrens.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Stufenform erreicht
2weiter eliminieren
3erst Gleichungen tauschen
Fehlende Unbekannte sind ein Geschenk: a + 3c = 5 steht schon in Stufenform, weil b dort 0 ist. Steht in Gleichung I kein a, muss zuerst getauscht werden — sonst kann I das a in den anderen Zeilen nicht entfernen.
Strategie: Schau spaltenweise: Ist unter dem ersten Eintrag der a-Spalte alles 0? Und unter dem ersten Eintrag der b-Spalte?
Ansatz: Enthält Gleichung I überhaupt ein a? Wenn nicht, hilft kein Eliminieren — dann wird getauscht.
A5
Trickaufgabe: Geschickt statt stur
AFB II

Löse I: 3a + 2b − c = 5, II: 3a + 2b + c = 11, III: 3a − 2b + c = 7. Gib a an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Gleichungen unterscheiden sich nur in Vorzeichen. II − I: 2c = 6, also c = 3. II − III: 4b = 4, also b = 1. In II: 3a + 2 + 3 = 11, a = 2. Stures „II − I, III − I“ klappt auch — aber wer die Struktur sieht, spart die Hälfte.
Strategie: Vergleiche die drei Gleichungen spaltenweise. Welche Einträge sind gleich, welche unterscheiden sich?
Ansatz: Subtrahiere zwei Gleichungen, die sich nur in einer Unbekannten unterscheiden — dann bleibt genau diese übrig.
A6
Gauß in der richtigen Reihenfolge
AFB II

Das LGS I: a + b + 2c = 3, II: 2a + 3b + 5c = 7, III: −a + 2b + 4c = 3 wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1II − 2·I und III + I: a verschwindet aus II und III
2III − 3·II: b verschwindet aus III, es bleibt 3c = 3
3Aus III: c = 1
4c in II einsetzen: b + 1 = 1, also b = 0
5b und c in I einsetzen: a + 0 + 2 = 3, also a = 1
Nach Schritt 1 lauten II und III: b + c = 1 und 3b + 6c = 6. Erst jetzt kann III − 3·II das b entfernen. Häufiger Fehler: rückwärts einsetzen, bevor die Stufenform fertig ist.
Strategie: Erst die Stufenform (spaltenweise von links nach rechts), dann rückwärts einsetzen (von unten nach oben).
Ansatz: Welche Zeilenoperation braucht die neue Gleichung II? Die muss nach dem ersten Schritt kommen.
A7
Mix: Parabel durch drei Punkte
AFB II

Wiederholung aus 1.1.4 trifft Gauß: Eine Parabel f(x) = ax² + bx + c geht durch A(−2 | 5), B(1 | −1) und C(2 | 1). Ordne das LGS so: I aus B, II aus C, III aus A.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Faktor vor b in der Gleichung aus A(−2 | 5)
  2. Rechte Seite der neuen Gleichung II nach II − 4·I
  3. c =
  4. a =
I: a + b + c = −1, II: 4a + 2b + c = 1, III: 4a − 2b + c = 5. II − 4·I: −2b − 3c = 5, III − 4·I: −6b − 3c = 9, dann III − 3·II: 6c = −6. Also c = −1, b = −1, a = 1: f(x) = x² − x − 1. Probe mit A: 4 + 2 − 1 = 5 ✓.
Strategie: Setze jeden Punkt in f(x) = ax² + bx + c ein; (−2)² = 4.
Ansatz: Nach II − 4·I und III − 4·I: −2b − 3c = 5 und −6b − 3c = 9. Jetzt III − 3·II.
A8
Der Algorithmus bei der Arbeit
AFB III

Ein Programm soll I: 2b − c = 1, II: 2a + 4b + 2c = 10, III: 3a + 5b + 4c = 13 lösen. Spiele nach, wie es vorgeht — ganzzahlig und ohne Brüche.

Spiele den Algorithmus Schritt für Schritt durch: Was folgt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der Algorithmus hat nur drei Regeln: Pivot ≠ 0 (sonst tauschen), darunter alles zu 0 machen, danach rückwärts einsetzen. Weil jeder Schritt eindeutig festgelegt ist, kann ein Rechner ihn ausführen — auch bei 100 Unbekannten.
    Strategie: Der Algorithmus arbeitet Spalte für Spalte. Frage in jedem Schritt: Welcher Eintrag soll 0 werden, und mit welcher Zeile gelingt das?
    Ansatz: Ganzzahlig eliminieren: Beide Gleichungen so multiplizieren, dass vor a dieselbe Zahl steht (hier 6), dann subtrahieren.
    A9
    Fehlersuche im Heft
    AFB III

    Gelöst wird I: a − b + 2c = 3, II: 3a − 2b + 5c = 9, III: 2a + 3b + c = 8. Sechs Zeilen aus einem Heft — drei sind falsch.

    In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
    In Zeile 2 wurde die rechte Seite addiert statt subtrahiert (8 + 6 statt 8 − 6). Zeile 3: Minus mal minus vergessen. Beide Fehler fallen sofort auf, wenn man am Ende die Probe in allen Ausgangsgleichungen macht.
    Strategie: Rechne jede Zeile selbst nach — spaltenweise und mit der rechten Seite.
    Ansatz: Achte besonders auf Vorzeichen: −5·(−c) = +5c, und „− 2·I“ gilt auch für die 3 rechts.
    A10
    Wie viel Arbeit bis zur Stufenform?
    AFB III

    Ein Eliminationsschritt macht genau einen Eintrag unterhalb der Diagonalen zu 0. Schätze für jedes LGS, wie viele Eliminationsschritte bis zur Stufenform nötig sind — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 0 Schritte, 2 = 1 Schritt, 3 = 2 Schritte, 4 = 3 Schritte, 5 = 6 Schritte. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = 0 Schritte5 = 6 Schritte
    3 Gleichungen, 3 Unbekannte, alle Koeffizienten ≠ 0
    3 × 3, nur in Gleichung III fehlt das a
    3 × 3, schon in Stufenform
    4 Gleichungen, 4 Unbekannte, alle Koeffizienten ≠ 0
    2 Gleichungen, 2 Unbekannte, alle Koeffizienten ≠ 0
    Unterhalb der Diagonalen liegen bei n Unbekannten 1 + 2 + … + (n − 1) Einträge: 1 bei 2 × 2, 3 bei 3 × 3, 6 bei 4 × 4. Fehlende Koeffizienten sparen Schritte. Weil der Aufwand so schnell wächst, übernehmen bei großen Systemen GTR und CAS.
    Strategie: Male dir das Zahlenschema als Quadrat und zähle die Plätze unter der Diagonalen.
    Ansatz: Bei 4 × 4: drei Einträge in Spalte 1, zwei in Spalte 2, einer in Spalte 3.