Ein Korbwurf auf Video
AFB I–IIIm Sportunterricht wird ein Korbwurf gefilmt und am Tablet ausgewertet. Der Mittelpunkt des Balls wird in einem Koordinatensystem erfasst: \(x\) ist die waagerechte Entfernung vom Abwurfpunkt, \(y\) die Höhe über dem Hallenboden (beides in m). Drei Bilder des Videos liefern die Punkte \(P(1\mid 3{,}2)\), \(Q(2\mid 3{,}8)\) und \(R(4\mid 3{,}8)\). Die Flugbahn soll durch eine Parabel mit \(f(x)=ax^2+bx+c\) beschrieben werden.
- Nennen Sie das lineare Gleichungssystem, das sich aus den drei Punkten ergibt.
- Lösen Sie das LGS ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren.
- Bestätigen Sie, dass der Ball eine größte Höhe von \(4\,\mathrm{m}\) erreicht.
- Interpretieren Sie den Koeffizienten \(c\) im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
I: \(a+b+c=3{,}2\)
II: \(4a+2b+c=3{,}8\)
III: \(16a+4b+c=3{,}8\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
II − I: \(3a+b=0{,}6\) ; III − I: \(15a+3b=0{,}6\).
Stufenform: I: \(a+b+c=3{,}2\), II: \(3a+b=0{,}6\), III − 3·II: \(6a=-1{,}2\).
\(a=-0{,}2\); aus II: \(b=0{,}6+0{,}6=1{,}2\); aus I: \(c=3{,}2+0{,}2-1{,}2=2{,}2\).
\(f(x)=-0{,}2x^2+1{,}2x+2{,}2\). Probe mit \(R\): \(-3{,}2+4{,}8+2{,}2=3{,}8\) ✓. (Die Unbekannten werden hier in der Reihenfolge \(c,\ b,\ a\) entfernt — das ist ebenfalls das Gauß-Verfahren, nur mit anderer Spaltenreihenfolge.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=-0{,}4x+1{,}2=0\Rightarrow x=3\); \(f(3)=-1{,}8+3{,}6+2{,}2=4\). Da \(a<0\), ist die Parabel nach unten geöffnet, der Scheitel \(S(3\mid 4)\) ist der höchste Punkt: Der Ball erreicht \(4\,\mathrm{m}\) Höhe (3 m vom Abwurfpunkt entfernt). Passend dazu liegen \(Q\) und \(R\) symmetrisch zu \(x=3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(c=f(0)=2{,}2\): Beim Abwurf (\(x=0\)) befindet sich der Ballmittelpunkt \(2{,}2\,\mathrm{m}\) über dem Boden — der Ball verlässt die Hände etwa über Kopfhöhe. \(c\) ist also die Abwurfhöhe; sie wurde nicht gemessen, sondern vom Modell geliefert.
Die wachsende Sonnenblume
AFB II–IIIIn einem Biologieprojekt wird die Höhe einer Sonnenblume alle zwei Wochen gemessen:
| Zeit \(t\) in Wochen | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Höhe in cm | 10 | 42 | 106 | 178 |
Die Höhe soll durch eine Funktion \(h\) mit \(h(t)=at^3+bt^2+ct+d\) beschrieben werden, deren Graph durch alle vier Messpunkte geht. Die Klasse möchte die Rechnung außerdem in einer Tabellenkalkulation automatisieren, damit sie für jede neue Pflanze funktioniert.
- Beschreiben Sie, wie aus den Messwerten ein lineares Gleichungssystem mit nur drei Unbekannten entsteht, und geben Sie es in möglichst einfacher Form an.
- Berechnen Sie \(a,\ b\) und \(c\) mit dem Gauß-Verfahren.
- Entwickeln Sie eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, nach der ein Programm jedes LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten nach dem Gauß-Verfahren löst. Berücksichtigen Sie den Fall, dass in der ersten Gleichung die erste Unbekannte fehlt.
- Bewerten Sie, ob sich das Modell eignet, die Höhe der Sonnenblume nach 12 Wochen vorherzusagen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus \((0\mid 10)\) folgt sofort \(d=10\). Die drei übrigen Punkte liefern mit \(d=10\):
\(8a+4b+2c=32\), \(64a+16b+4c=96\), \(216a+36b+6c=168\).
Durch 2, 4 bzw. 6 geteilt:
I: \(4a+2b+c=16\)
II: \(16a+4b+c=24\)
III: \(36a+6b+c=28\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
II − I: \(12a+2b=8\); III − I: \(32a+4b=12\).
III − 2·II: \(8a=-4\Rightarrow a=-0{,}5\).
\(12\cdot(-0{,}5)+2b=8\Rightarrow b=7\); \(4\cdot(-0{,}5)+14+c=16\Rightarrow c=4\).
\(h(t)=-0{,}5t^3+7t^2+4t+10\). Probe: \(h(6)=-108+252+24+10=178\) ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mögliche Anleitung (Zeilen \(Z_1, Z_2, Z_3\), jeweils mit rechter Seite):
- Pivot prüfen: Ist der Koeffizient der ersten Unbekannten in \(Z_1\) gleich 0, tausche \(Z_1\) mit einer Zeile, in der er nicht 0 ist.
- Spalte 1: Ersetze \(Z_2\) durch \(p_1\cdot Z_2-q_2\cdot Z_1\) und \(Z_3\) durch \(p_1\cdot Z_3-q_3\cdot Z_1\) (\(p_1\): Pivot, \(q_2, q_3\): erste Koeffizienten in \(Z_2, Z_3\)).
- Spalte 2: Pivot in \(Z_2\) prüfen (ggf. mit \(Z_3\) tauschen), dann die zweite Unbekannte aus \(Z_3\) ebenso entfernen.
- Rückwärts: Dritte Unbekannte aus \(Z_3\) berechnen, in \(Z_2\) einsetzen, danach beide in \(Z_1\).
- Probe: Lösung in alle Ausgangsgleichungen einsetzen.
Findet das Programm in Schritt 1 oder 3 keine Zeile mit Pivot ≠ 0 oder entsteht unten keine Gleichung der Form \(k\cdot c=r\) mit \(k\neq 0\), gibt es eine Meldung aus, statt zu dividieren. Vollständig ist eine Antwort, die die feste Reihenfolge, den Tausch bei Pivot 0 und das Rückwärtseinsetzen enthält.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(h(10)=-500+700+40+10=250\), \(h(12)=-864+1008+48+10=202\). Nach dem Modell wäre die Pflanze nach 12 Wochen fast einen halben Meter kleiner als nach 10 Wochen — eine Sonnenblume schrumpft aber nicht. Der Graph hat bei \(t\approx 9{,}6\) einen Hochpunkt und fällt danach, weil der Term \(-0{,}5t^3\) für große \(t\) überwiegt.
Bewertung: Innerhalb des Messbereichs \(0\le t\le 6\) beschreibt das Modell die Daten exakt; für eine Prognose nach 12 Wochen (doppelter Zeitraum) ist es ungeeignet. Eine ganzrationale Funktion, die nur durch vier Punkte gelegt wurde, sagt über den Verlauf außerhalb nichts Verlässliches aus — für eine Prognose wären weitere Messwerte oder ein Modell mit Wachstumsgrenze nötig.