Stelle in die Klammer, Wert nach rechts: zehn Übungen, in denen aus Hochpunkten und Wendetangenten Gleichungen werden.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die zwei gestuften Tipps unter jeder Aufgabe. Eine Mix-Aufgabe holt älteres Wissen zurück, und eine Trickaufgabe stellt dir eine Falle.
A1
Drei Gleichungen aus einem Punkt
AFB I
Der Graph einer Funktion f hat den Sattelpunkt S(3|−1). Welche Gleichungen folgen daraus?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Stelle 3 steht immer in der Klammer, die Höhe −1 gehört nur zu f. „f′(3) = −1“ macht aus der Höhe eine Steigung, „f(−1) = 3“ vertauscht x und y. Ein Sattelpunkt mit bekannter Höhe liefert genau drei Bedingungen.
Ansatz: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente — und er liegt auf dem Graphen.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Liegt ein Punkt auf dem Graphen, setzt man seine Koordinaten in ein. Eine Angabe zur Steigung — auch „waagerecht“ — ist eine Bedingung an . Eine Wendestelle führt zu einer Bedingung an . Ein Hochpunkt mit bekannten Koordinaten liefert Bedingungen, ein Sattelpunkt mit bekannter Höhe sogar .
„vier“ bleibt übrig: Keine einzelne Eigenschaft eines Punktes liefert vier Gleichungen — es gibt nur die drei Grundformen f(x₀) = y₀, f′(x₀) = m und f″(x₀) = 0.
Ansatz: Ordne jeder Eigenschaft ihre Grundform zu: Höhe, Steigung oder Krümmungswechsel.
Weg: Hochpunkt = Höhe + waagerecht. Sattelpunkt = Höhe + waagerecht + Wendestelle.
A3
Wörter werden Gleichungen
AFB I
Verbinde jede Eigenschaft mit der passenden Gleichung. Achtung: Die Zahlen 0, 4 und −4 sind absichtlich ähnlich.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: Frag zuerst „Welche Stelle?“ — die kommt in die Klammer. Dann „Was wird angegeben — Höhe, Steigung oder Krümmungswechsel?“ — das entscheidet über f, f′ oder f″ und über die rechte Seite.
Ansatz: Suche in jedem Satz die Stelle x₀. Der y-Achsenschnittpunkt hat immer x₀ = 0.
Sortiere die Angaben danach, wie viele Gleichungen sie für den Funktionsterm liefern.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1eine Bedingung
2zwei Bedingungen
3drei Bedingungen
„Berührt die x-Achse“ ist ein versteckter Extrempunkt auf der Achse: f(3) = 0 und f′(3) = 0. Eine Extremstelle ohne Höhe liefert nur f′(1) = 0. Die Wendetangente im Punkt W(1|2) braucht Höhe, Wendestelle und Steigung — drei Gleichungen.
Ansatz: Zerlege jede Angabe in „Höhe bekannt?“, „Steigung bekannt?“, „Wendestelle?“ — jedes Ja ist eine Gleichung.
Weg: Berühren heißt: Nullstelle und waagerechte Tangente zugleich. Eine Wendetangente in einem Punkt: f(1) = 2, f″(1) = 0, f′(1) = 3.
A5
Memory: Eigenschaft und Bedingungen
AFB II
Finde zu jeder Eigenschaft das passende Gleichungspaar.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Viele Paare sehen sich zum Verwechseln ähnlich — der Unterschied steckt im Strich: f′ steht für „waagerecht“ oder eine Steigung, f″ für eine Wendestelle. Und „auf der y-Achse“ bedeutet immer x₀ = 0.
Ansatz: Lies zuerst die Stelle x₀ ab, dann die Art der Eigenschaft.
Weg: Hoch- und Tiefpunkt → f und f′. Wendepunkt → f und f″. „Auf der y-Achse“ → x₀ = 0.
A6
Mix-Aufgabe: Bedingungen ausschreiben
AFB II
Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d mit f′(x) = 3ax² + 2bx + c und f″(x) = 6ax + 2b. Der Graph hat den Tiefpunkt T(−2|1) und die Wendestelle x = 1. Hier trifft die Übersetzung auf die Ableitungsregeln aus der Einführungsphase.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
I: f(−2) = 1 ausgeschrieben lautet □ · a + 4b − 2c + d = 1. Welche Zahl steht vor a?
II: f′(−2) = 0 lautet 12a + □ · b + c = 0. Welche Zahl steht vor b?
III: f″(1) = 0 lautet 6a + 2b = 0. Also ist b = □ · a.
Setze b in II ein: Dann ist c = □ · a.
Vorzeichen sind die Falle: (−2)³ = −8, aber (−2)² = 4. In f′ steht 2b · (−2) = −4b. Aus III folgt b = −3a, und II wird zu 12a + 12a + c = 0, also c = −24a. Zwei Unbekannte sind damit schon durch a ausgedrückt.
Ansatz: Setze die Stelle in f, f′ bzw. f″ ein und achte auf die Vorzeichen der Potenzen von −2.
Weg: (−2)³ = −8, (−2)² = 4; in f′: 3a · 4 = 12a und 2b · (−2) = −4b. Aus 6a + 2b = 0 folgt b = −3a.
A7
Steckbrief Schritt für Schritt
AFB II
Steckbrief: „Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 4 ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat den Hochpunkt H(0|2) und den Wendepunkt W(1|1,5).“
Spiele die Übersetzung Schritt für Schritt durch: Was folgt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Die Symmetrie spart doppelt: Sie streicht zwei Unbekannte, und sie macht f′(0) = 0 überflüssig. Das LGS hat die Lösung a = 0,1, b = −0,6, c = 2 — das Lösen folgt ab Kapitel 1.2.
Ansatz: Prüfe zuerst die Symmetrie — sie bestimmt den Ansatz. Erst dann die Punkte übersetzen.
Weg: Beim Ansatz ax⁴ + bx² + c ist f′(x) = 4ax³ + 2bx, f″(x) = 12ax² + 2b. Setze x = 0 bzw. x = 1 ein.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB III
Timo übersetzt: „Der Graph einer Funktion vom Grad 3 hat im Ursprung einen Wendepunkt, die Wendetangente hat die Steigung −6, und bei x = 2 liegt ein Tiefpunkt.“ Drei Zeilen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten ist Zeile 4: Eine Stelle ohne Höhe wird zur erfundenen Höhe 0. Aus den vier richtigen Bedingungen folgt f(x) = 0,5x³ − 6x — und tatsächlich ist f(2) = −8, nicht 0.
Ansatz: Prüfe bei jeder Zeile: Steht die Stelle in der Klammer? Ist die Höhe wirklich angegeben? Stimmt das Einsetzen?
Weg: Zeile 2: Welche Stelle hat die Wendetangente? Zeile 4: Steht die Höhe des Tiefpunkts im Text? Zeile 6: Was wird aus 6a · x bei x = 0?
A9
Stimmt's? — Fünferserie
AFB III
Fünf Behauptungen, bei denen genaues Hinsehen hilft.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Symmetrie liefert keine Gleichungen, sie macht manche überflüssig. Und jede angegebene Zahl zählt — auch eine 0.
Ansatz: Denke an den Ansatz: Welche Summanden gibt es bei Punkt- bzw. Achsensymmetrie?
Weg: Punktsymmetrie → keine Konstante. Achsensymmetrie → f′ hat nur ungerade Exponenten, f′(0) = 0.
A10
Trickaufgabe: Nur zwei Angaben?
AFB III
Der Graph einer Funktion vom Grad 3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat den Hochpunkt H(−2|4). Bestimme den Leitkoeffizienten a.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Mit dem Ansatz f(x) = ax³ + cx bleiben zwei Unbekannte. I: f(−2) = −8a − 2c = 4. II: f′(−2) = 12a + c = 0, also c = −12a. Eingesetzt: −8a + 24a = 4, also a = 0,25 und c = −3. Wer mit ax³ + bx² + cx + d startet, hat vier Unbekannte und scheinbar zu wenig Angaben — die Symmetrie ist der Schlüssel.
Ansatz: Wegen der Punktsymmetrie reicht f(x) = ax³ + cx. H(−2|4) liefert zwei Gleichungen.
Weg: f(−2) = −8a − 2c = 4 und f′(−2) = 12a + c = 0. Löse II nach c auf und setze in I ein.
