Querschnitt einer Sanddüne
AFB I–IIAn der Nordseeküste wird der Querschnitt einer Wanderdüne vermessen. Auf der dem Wind zugewandten Luvseite steigt die Düne vom Fuß \(F\) aus sanft an; am Fuß geht sie ohne Knick in den ebenen Strand über. Den Kamm \(K\) erreicht sie in 4 m Höhe, 8 m (waagerecht gemessen) hinter dem Fuß. Am Kamm verläuft der Querschnitt waagerecht, dahinter fällt die Leeseite steil ab.
Der Ursprung liegt im Fuß \(F\), die \(x\)-Achse verläuft entlang des Strandes in Windrichtung, 1 LE = 1 m. Der Querschnitt soll durch eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad 3 beschrieben werden.
- Geben Sie vier Bedingungen an, die \(f\) aufgrund der Beschreibung erfüllen muss.
- Weisen Sie nach, dass \(f(x)=-\frac{1}{64}x^3+\frac{3}{16}x^2\) alle vier Bedingungen erfüllt.
- Bestimmen Sie die Stelle, an der die Leeseite der Düne wieder das Niveau des Strandes erreicht.
- Erklären Sie, warum sich die Angabe „Die Luvseite ist bei \(x=4\) am steilsten“ als Bedingung \(f''(4)=0\) schreiben lässt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=0\) (Fuß im Ursprung), \(f'(0)=0\) (knickfreier Übergang in den ebenen Strand),
\(f(8)=4\) (Kamm in 4 m Höhe), \(f'(8)=0\) (Kamm waagerecht).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f'(x)=-\frac{3}{64}x^2+\frac{3}{8}x\).
\(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\) sind sofort erfüllt.
\(f(8)=-\frac{512}{64}+\frac{3\cdot 64}{16}=-8+12=4\) und \(f'(8)=-\frac{3\cdot 64}{64}+\frac{3\cdot 8}{8}=-3+3=0\).
Alle vier Bedingungen sind erfüllt. (Zusätzlich ist \(f''(8)=-\frac{3}{8}<0\): \(K\) ist tatsächlich ein Hochpunkt.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(x)=\frac{1}{64}x^2(12-x)=0 \iff x=0\) (doppelt) oder \(x=12\).
Die Leeseite erreicht 12 m hinter dem Fuß, also 4 m hinter dem Kamm, wieder das Strandniveau. Die Leeseite ist damit deutlich kürzer und steiler als die Luvseite.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Steigung des Querschnitts wird durch \(f'\) beschrieben. An der steilsten Stelle hat \(f'\) ein Maximum, also gilt dort \((f')'(4)=f''(4)=0\).
Geometrisch wechselt der Graph dort von einer Links- in eine Rechtskurve — \(x=4\) ist eine Wendestelle.
Kontrolle: \(f''(x)=-\frac{3}{32}x+\frac{3}{8}=0 \iff x=4\). Die Angabe ist also mit \(f\) verträglich, liefert aber für den Grad 3 keine zusätzliche Information: Die Wendestelle liegt bei einer Funktion dritten Grades immer in der Mitte zwischen den Extremstellen 0 und 8.
Das Zeltdach
AFB II–IIIEin Festzelt hat im Querschnitt ein geschwungenes Dach, das von einem Mittelmast getragen wird. Der höchste Punkt \(H\) liegt 4 m über dem Boden direkt über dem Mast. Jeweils 4 m links und rechts vom Mast erreicht das Dach den Boden und läuft dort waagerecht in die Bodenplane aus. Der Querschnitt ist symmetrisch zum Mast.
Der Ursprung liegt am Fuß des Mastes, 1 LE = 1 m. Das Dach soll durch eine ganzrationale Funktion \(g\) vom Grad 4 beschrieben werden.
- Erläutern Sie, warum der Ansatz \(g(x)=ax^4+bx^2+c\) genügt und welche Angaben dadurch keine eigenen Gleichungen mehr liefern.
- Ermitteln Sie die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\).
- Widerlegen Sie die Behauptung eines Mitschülers: „Die beiden Randpunkte liefern vier Gleichungen, der Hochpunkt zwei weitere — das sind sechs Bedingungen, also braucht man eine Funktion vom Grad 5.“
- Überprüfen Sie, ob das Dach an den Rändern zusätzlich ohne Krümmung in den Boden übergehen kann, d. h. mit \(g''(4)=0\), wenn weiterhin eine achsensymmetrische Funktion vom Grad 4 verwendet wird.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Querschnitt ist symmetrisch zum Mast, also zur \(y\)-Achse. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn nur gerade Exponenten vorkommen. Aus \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) bleibt \(ax^4+bx^2+c\) — drei statt fünf Unbekannte.
\(g'(x)=4ax^3+2bx\) ergibt immer \(g'(0)=0\): Die waagerechte Tangente im Hochpunkt ist automatisch erfüllt.
Wegen \(g(-x)=g(x)\) folgen \(g(-4)=0\) und \(g'(-4)=0\) aus den Bedingungen bei \(x=4\). Es bleiben drei Gleichungen: \(g(0)=4\), \(g(4)=0\), \(g'(4)=0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(g(0)=c=4\).
I: \(g(4)=256a+16b+4=0 \iff 256a+16b=-4\); II: \(g'(4)=256a+8b=0\).
I − II: \(8b=-4\), also \(b=-\frac12\); aus II: \(256a=4\), also \(a=\frac{1}{64}\).
\(g(x)=\frac{1}{64}x^4-\frac12x^2+4=\frac{1}{64}\,(x^2-16)^2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Funktion \(g(x)=\frac{1}{64}x^4-\frac12x^2+4\) vom Grad 4 erfüllt alle sechs Bedingungen: \(g(0)=4\); \(g'(x)=\frac{1}{16}x^3-x\), also \(g'(0)=0\); \(g(\pm4)=\frac{256}{64}-8+4=0\); \(g'(\pm4)=\pm4\mp4=0\).
Die sechs Angaben sind nicht unabhängig: Wegen der Symmetrie sind drei von ihnen in den anderen enthalten. Die Zahl der Angaben allein bestimmt den Grad nicht — entscheidend ist, wie viele davon wirklich neue Gleichungen liefern. Ein Grad 5 wäre zudem ungerade und könnte nicht achsensymmetrisch sein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(g''(x)=12ax^2+2b\). Mit \(a=\frac1{64}\), \(b=-\frac12\): \(g''(4)=\frac{12\cdot16}{64}-1=3-1=2\neq0\).
Da \(a\), \(b\), \(c\) durch \(g(0)=4\), \(g(4)=0\) und \(g'(4)=0\) eindeutig bestimmt sind, ist keine andere Wahl möglich: Vier Bedingungen für drei Unbekannte widersprechen sich hier.
Ergebnis: Mit einer achsensymmetrischen Funktion vom Grad 4 ist der krümmungsfreie Übergang nicht möglich. Man bräuchte einen Ansatz mit einer weiteren Unbekannten, z. B. \(g(x)=ax^6+bx^4+cx^2+d\).