Rampe, Rodelbahn, Landeanflug: erst das Koordinatensystem hineinlegen, dann Worte, Prozent und Winkel übersetzen.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die zwei gestuften Tipps unter jeder Aufgabe. Eine Mix-Aufgabe holt älteres Wissen zurück, und eine Trickaufgabe stellt dir eine Falle.
A1
Vom Text zum Koordinatensystem
AFB I
Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Ein Sachtext enthält keine Koordinaten. Deshalb legt man zuerst ein hinein und notiert die , zum Beispiel 1 LE = 1 m. Den legt man an eine markante Stelle, etwa an einen Fußpunkt. Eine Steigung von 12 % bedeutet m = . Geht es in x-Richtung bergab, ist m .
„12“ bleibt übrig: 12 % heißt 12 m Höhenunterschied auf 100 m waagerecht, also m = 12 : 100 = 0,12. Wer m = 12 ansetzt, beschreibt einen Hang mit etwa 85° — fast eine Wand.
Ansatz: Die ersten drei Lücken beschreiben die Vorbereitung, die letzten beiden die Steigung.
Weg: p % Steigung → m = p : 100. Bergab in x-Richtung → Vorzeichen minus.
A2
Worte werden Bedingungen
AFB I
Eine Bahn wird durch f beschrieben (1 LE = 1 m). Verbinde jede Beschreibung mit der passenden Bedingung.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
„Höchste Stelle“ heißt waagerechte Tangente, nicht Höhe 2. Und 45° Gefälle sind m = tan(−45°) = −1. Trick: 45° ist der einzige Winkel, bei dem Steigung und Prozent „glatt“ sind — 100 %.
Ansatz: Alle Aussagen spielen an derselben Stelle x = 2. Entscheide nur: Höhe, Steigung oder Krümmungswechsel?
Weg: Höchste Stelle → f′ = 0; Prozent → m = p : 100; Winkel → m = tan α, bergab negativ.
A3
Steigt, fällt oder waagerecht?
AFB I
Die x-Achse zeigt jeweils in die angegebene Richtung. Sortiere nach dem Vorzeichen der Steigung m an der beschriebenen Stelle.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1steigt (m positiv)
2waagerecht (m = 0)
3fällt (m negativ)
Die Falle ist der Hang, der „entgegen der x-Richtung“ ansteigt: In x-Richtung gelesen fällt er, also m < 0. „Ohne Knick in eine Ebene“ heißt gleiche Steigung wie die Ebene — und die ist 0.
Ansatz: Lies jeden Satz so, als würdest du in x-Richtung laufen: Geht es bergauf, bergab oder eben?
Weg: Höchste und tiefste Stelle sowie ein knickfreier Übergang in eine Ebene bedeuten m = 0. Gefälle in x-Richtung → m < 0.
A4
Die Rollstuhlrampe
AFB II
Eine Rollstuhlrampe überwindet 0,6 m Höhe auf 10 m waagerechter Länge. Sie beginnt und endet waagerecht. Der Ursprung liegt am unteren Rampenanfang, die x-Achse zeigt waagerecht in Aufwärtsrichtung, 1 LE = 1 m. Welche Bedingungen sind richtig?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die 6 % sind nur die mittlere Steigung (0,6 m auf 10 m). In der Mitte ist die Rampe steiler: Die fertige Funktion hat dort f′(5) = 0,09, also 9 %. „f(0,6) = 10“ vertauscht Höhe und Länge — immer erst die Stelle x₀, dann den Wert.
Ansatz: Markiere die zwei markanten Punkte — Anfang und Ende — mit Koordinaten. „Waagerecht“ gibt jeweils eine zweite Bedingung.
Weg: Anfang (0|0), Ende (10|0,6); an beiden Enden f′ = 0. Die mittlere Steigung 0,6 : 10 ist keine Bedingung an eine bestimmte Stelle.
A5
Gefälle im Winkelmaß
AFB II
Ein Pistenabschnitt fällt an der Stelle x = 6 in x-Richtung unter 18° ab. Gib m in der Bedingung f′(6) = m auf drei Nachkommastellen an.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Bergab in x-Richtung heißt α = −18°, also m = tan(−18°) ≈ −0,325. Die Bedingung lautet f′(6) ≈ −0,325. Typische Fehler: das Minus vergessen oder den Rechner im Bogenmaß (RAD) lassen — dann erscheint tan(−18) ≈ 1,137.
Ansatz: Steigung aus dem Winkel: m = tan α. Gefälle in x-Richtung → negativer Winkel.
Weg: Taschenrechner auf DEG stellen, tan(−18) eintippen und auf drei Nachkommastellen runden.
A6
Von flach nach steil
AFB II
Prozent oder Grad? Ordne die fünf Steigungen von der flachsten zur steilsten.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
18 % Steigung
25° Steigungswinkel
312 % Steigung
410° Steigungswinkel
520 % Steigung
Alles über m vergleichen: 8 % → 0,08; tan 5° ≈ 0,087; 12 % → 0,12; tan 10° ≈ 0,176; 20 % → 0,2. Am häufigsten verrutscht 5°: Die kleine Zahl täuscht — 5° ist steiler als 8 %. Faustregel für kleine Winkel: 1° ≈ 1,75 %.
Ansatz: Rechne jede Angabe in m um: Prozent durch 100, Winkel mit tan.
Weg: tan 5° ≈ 0,087 und tan 10° ≈ 0,176. Vergleiche mit 0,08; 0,12 und 0,2.
A7
Mix-Aufgabe: Die Rodelbahn
AFB II
Eine Rodelbahn startet waagerecht in 12 m Höhe und mündet 40 m weiter (waagerecht gemessen) ohne Knick in den ebenen Auslauf auf Höhe 0. Ursprung senkrecht unter dem Start auf Höhe des Auslaufs, 1 LE = 1 m, Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Hier treffen Sachkontext, Wendestelle und Trigonometrie aufeinander.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Wie viele Bedingungen liefert der Text?Bedingungen
Aus f(0) = 12 folgt d = □.
Aus f′(0) = 0 folgt c = □.
Die Lösung ist f(x) = 0,000375x³ − 0,0225x² + 12. Am steilsten ist die Bahn an der Wendestelle x = 20. Wie groß ist dort der Neigungswinkel (ganze Grad)?°
Die vier Bedingungen: f(0) = 12, f′(0) = 0, f(40) = 0, f′(40) = 0. Der Ursprung unter dem Start macht d und c sofort ablesbar. An der Wendestelle ist f′(20) = −0,45, also 45 % Gefälle und α = arctan 0,45 ≈ 24°. Das Vorzeichen zeigt nur die Richtung (bergab) — der Winkel wird als Betrag angegeben.
Ansatz: Zähle: Start (Höhe + waagerecht) und Ende (Höhe + ohne Knick). Setze x = 0 in f und f′ ein.
Weg: f′(x) = 0,001125x² − 0,045x. f′(20) = 0,45 − 0,9 = −0,45. Dann α = tan⁻¹(0,45) im DEG-Modus.
A8
Fehlersuche: Der Landeanflug
AFB III
Ein Flugzeug fliegt in 600 m Höhe waagerecht und soll 6 km weiter waagerecht auf der Landebahn aufsetzen. Nele legt den Ursprung in den Aufsetzpunkt, die x-Achse zeigt in Flugrichtung, 1 LE = 1 km. Drei Zeilen in ihrem Heft sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Einheitenfehler wie in Zeile 6 sind in Klausuren besonders häufig: Wer die x-Achse in km und die Höhe in m misst, bekommt eine völlig verzerrte Kurve. Die Wahl des Ursprungs entscheidet über die Vorzeichen — daher Ursprung und Achsenrichtung immer notieren.
Ansatz: Skizziere die Situation: Wo liegt der Ursprung, wohin zeigt die x-Achse, wo startet das Flugzeug?
Weg: Start 6 km vor dem Aufsetzpunkt → x = −6. „Waagerecht“ → f′. 600 m in km umrechnen.
A9
Wie steil wird der Anflug?
AFB III
Aus Neles korrigierten Bedingungen ergibt sich der Anflug f(x) = x³/180 + x²/20 für −6 ≤ x ≤ 0. Im Mittel verliert das Flugzeug 600 m Höhe auf 6 km. Schätze, wie groß das größte Gefälle des Anflugs in Prozent ist.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 %30 %
Im Mittel sind es 0,6 : 6 = 10 %. Am steilsten ist der Anflug an der Wendestelle x = −3: mit f′(x) = x²/60 + x/10 ist f′(−3) = 0,15 − 0,3 = −0,15 — 15 % Gefälle. Bei jedem Übergang „waagerecht → waagerecht“ mit einer Funktion vom Grad 3 ist die größte Steigung genau das 1,5-Fache der mittleren. Echte Flugzeuge sinken mit nur etwa 5 % (3°) — das Modell wäre für die Praxis viel zu steil.
Ansatz: Berechne zuerst die mittlere Steigung. Wo ist ein solcher S-Bogen am steilsten?
Weg: Der S-Bogen ist in der Mitte (x = −3) am steilsten — steiler als die Verbindungsstrecke, etwa um die Hälfte mehr.
A10
Trickaufgabe: Stimmt's?
AFB III
Fünf Behauptungen rund um Ursprung, Prozent und Winkel — zwei davon sind beliebte Fallen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Prozent und Grad wachsen nicht gleich: 45° sind 100 %, 63,4° schon 200 %, und 90° lassen sich in Prozent gar nicht angeben. Deshalb immer über m = tan α umrechnen.
Ansatz: Rechne jede Prozent- oder Winkelangabe in m um. Für Ursprungsfragen: Was ändert sich beim Verschieben — die Kurve oder die Zahlen?
Weg: 100 % → m = 1 → α = tan⁻¹(1). Eine Steigung m = 2 ist 200 %.
