Ein neuer Seedeich
AFB I–IIEin Küstenschutzamt plant den Querschnitt eines neuen Seedeichs. Vom seeseitigen Deichfuß \(A\) aus steigt die Böschung zunächst mit 20 % an. 20 m weiter (waagerecht gemessen) erreicht sie im Punkt \(B\) die Deichkrone, die 4 m über dem Deichfuß liegt und waagerecht verläuft. Die Böschung soll in \(B\) ohne Knick in die Krone übergehen.
Die seeseitige Böschung zwischen \(A\) und \(B\) soll durch eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad 3 modelliert werden.
- Zeichnen Sie in die Abbildung ein Koordinatensystem mit Ursprung im Deichfuß \(A\) und der Einheit 1 LE = 1 m ein. Beschriften Sie die Punkte \(A\) und \(B\) mit ihren Koordinaten.
- Stellen Sie die Angaben des Textes als vier Bedingungen an \(f\) dar.
- Bestätigen Sie, dass \(f(x)=-0{,}0005x^3+0{,}01x^2+0{,}2x\) diese Bedingungen erfüllt.
- Berechnen Sie den Neigungswinkel der Böschung am Deichfuß und die größte Steigung der Böschung in Prozent.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ursprung in \(A\); \(x\)-Achse waagerecht zur Landseite (in m), \(y\)-Achse senkrecht nach oben (in m).
Koordinaten: \(A(0\mid 0)\) und \(B(20\mid 4)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(0)=0\) (Deichfuß im Ursprung), \(f'(0)=0{,}2\) (20 % Steigung: \(m=\frac{20}{100}\)),
\(f(20)=4\) (Krone 4 m hoch), \(f'(20)=0\) (knickfreier Übergang in die waagerechte Krone).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(0)=0\) und \(f'(0)=0{,}2\) sind direkt ablesbar.
\(f(20)=-0{,}0005\cdot 8000+0{,}01\cdot 400+0{,}2\cdot 20=-4+4+4=4\).
\(f'(20)=-0{,}0015\cdot 400+0{,}02\cdot 20+0{,}2=-0{,}6+0{,}4+0{,}2=0\). Alle Bedingungen sind erfüllt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Am Deichfuß: \(\tan\alpha=0{,}2 \Rightarrow \alpha\approx 11{,}3^\circ\).
\(f''(x)=-0{,}003x+0{,}02=0 \iff x=\frac{20}{3}\approx 6{,}67\). Da \(f'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, hat \(f'\) dort sein Maximum.
\(f'\!\left(\frac{20}{3}\right)=-0{,}0015\cdot\frac{400}{9}+0{,}02\cdot\frac{20}{3}+0{,}2=\frac{4}{15}\approx 0{,}267\). Die größte Steigung beträgt etwa 26,7 %, etwa 6,7 m hinter dem Deichfuß in rund 1,6 m Höhe.
Rampe für eine Modelleisenbahn
AFB II–IIIAuf einer Modelleisenbahnanlage soll ein Gleis von der Grundplatte auf eine Brücke führen, deren Gleisebene 8 cm höher liegt. Zwischen dem Rampenbeginn \(A\) auf der Grundplatte und dem Brückenanfang \(B\) liegen waagerecht gemessen 240 cm. Damit die Wagen nicht entgleisen, muss das Gleis in \(A\) und in \(B\) knickfrei an die waagerechten Gleisstücke anschließen.
Der Hersteller der Lokomotiven empfiehlt eine Steigung von höchstens 4 %. Die Rampe wird durch eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad 3 modelliert; der Ursprung liegt in \(A\), die \(x\)-Achse zeigt in Fahrtrichtung, 1 LE = 1 cm.
- Leiten Sie aus dem Text die Bedingungen für \(f\) her.
- Zeigen Sie, dass \(f(x)=-\frac{1}{864000}x^3+\frac{1}{2400}x^2\) die Bedingungen erfüllt und dass die Rampe an ihrer steilsten Stelle eine Steigung von 5 % hat.
- Bewerten Sie die Planung im Hinblick auf die Empfehlung des Herstellers.
- Entwickeln Sie einen Vorschlag, wie die Rampe geändert werden muss, damit die Empfehlung eingehalten wird.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A(0\mid 0)\), \(B(240\mid 8)\).
\(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) (knickfrei an das waagerechte Gleis auf der Grundplatte),
\(f(240)=8\), \(f'(240)=0\) (knickfrei an das waagerechte Gleis auf der Brücke).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(0)=0\), \(f'(0)=0\). \(f(240)=-\frac{13\,824\,000}{864\,000}+\frac{57\,600}{2400}=-16+24=8\). \(f'(240)=-\frac{57\,600}{288\,000}+\frac{240}{1200}=-0{,}2+0{,}2=0\).
\(f''(x)=-\frac{x}{144000}+\frac{1}{1200}=0 \iff x=120\); dort wechselt \(f''\) das Vorzeichen von + nach −, \(f'\) ist also maximal.
\(f'(120)=-\frac{14\,400}{288\,000}+\frac{120}{1200}=-0{,}05+0{,}1=0{,}05\), also 5 %.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=0{,}04 \iff x^2-240x+11\,520=0 \iff x=120\pm\sqrt{2880}\), also \(x\approx 66{,}3\) oder \(x\approx 173{,}7\).
Auf rund 107 cm, fast der Hälfte der Rampe, ist die Steigung größer als 4 %; in der Mitte beträgt sie 5 %, ein Viertel mehr als empfohlen.
Urteil: Die Planung hält die Empfehlung nicht ein. Schwere Züge könnten auf dem mittleren Abschnitt schleudern oder hängen bleiben — die Planung ist so nicht geeignet. (Die mittlere Steigung \(8:240\approx 3{,}3\,\%\) täuscht über die steilste Stelle hinweg.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für \(f_L\) gilt \(f_L'(x)=\frac{48}{L}\left(\frac{x}{L}-\frac{x^2}{L^2}\right)\), maximal in der Mitte \(x=\frac L2\): \(f_L'\!\left(\frac L2\right)=\frac{12}{L}\). Die größte Steigung ist also das 1,5-Fache der mittleren Steigung \(\frac{8}{L}\).
Bedingung \(\frac{12}{L}\le 0{,}04 \iff L\ge 300\). Vorschlag: Rampe auf mindestens 300 cm verlängern, z. B. \(f(x)=-\frac{1}{1\,687\,500}x^3+\frac{1}{3750}x^2\) mit genau 4 % in der Mitte.
Alternativ: Brücke niedriger bauen (\(1{,}5\cdot\frac{h}{240}\le 0{,}04 \iff h\le 6{,}4\) cm) oder zwischen zwei kurzen Übergangsbögen ein gerades Stück mit konstanter Steigung einsetzen. Eine vollständige Antwort nennt einen konkreten Vorschlag und belegt rechnerisch, dass 4 % nicht überschritten werden.