Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1
Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Passt das Paar?
AFB IJede Zeile nennt eine Funktion \(f\) und eine vorgeschlagene Stammfunktion \(F\). Gib alle richtigen Paare an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Geteilt wird durch den neuen Exponenten: \(\tfrac17x^7\), nicht \(\tfrac16x^7\). Bei \(4x\) fehlt das Teilen durch \(2\): \(2x^2\). Bei \(\tfrac1{x^3}=x^{-3}\) steigt der Exponent auf \(-2\) — wer \(-4\) schreibt, hat abgeleitet statt integriert.
Exponent um \(1\) erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Brüche erst als Potenz schreiben.
\(\tfrac1{x^3}=x^{-3}\;\to\;\tfrac{1}{-2}x^{-2}\).
A2
Memory: Funktion und Stammfunktion
AFB IFinde die fünf Paare aus Funktion \(f\) und passender Stammfunktion \(F\).
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
\(\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23}\to\tfrac{1}{5/3}x^{\frac53}=\tfrac35x^{\frac53}\). Bei \(-\tfrac2{x^5}=-2x^{-5}\) teilt man durch \(-4\): Minus durch Minus ergibt Plus, \(\tfrac12x^{-4}\).
Schreibe jede Karte als \(k\cdot x^r\). Die Stammfunktion hat den Exponenten \(r+1\).
Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrwert malnehmen: \(1:\tfrac53=\tfrac35\).
A3
Die Regel in Worten
AFB ISetze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Für eine Stammfunktion von \(f(x)=x^r\) wird der um \(1\) erhöht und anschließend durch den geteilt. Ein konstanter bleibt dabei einfach stehen. Bei einer Summe wird jeder einzeln integriert. Nicht anwendbar ist die Regel für \(r=\)
Wer durch den alten Exponenten teilt, erhält zu \(x^4\) die Funktion \(\tfrac14x^5\) — deren Ableitung ist \(\tfrac54x^4\). Die Probe verlangt \(\tfrac15x^5\).
Denk an ein Beispiel: \(x^3\to\tfrac14x^4\). Wodurch wurde geteilt?
Für \(r=-1\) wäre der neue Exponent \(0\) — und durch \(0\) kann man nicht teilen.
A4
Was ist zuerst zu tun?
AFB IIBevor die Potenzregel greift, muss der Term manchmal umgebaut werden. Ordne jede Funktion dem ersten nötigen Schritt zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Potenzregel sofort
2erst als Potenz schreiben
3erst ausmultiplizieren
\(x^{-2}\) steht schon als Potenz da — kein Umschreiben nötig. Brüche und Wurzeln werden zu \(4x^{-3}\), \(x^{\frac14}\), \(x^{-\frac12}\). Für Klammerprodukte gibt es keine „Produktregel rückwärts“: \((x-3)^2=x^2-6x+9\), \(x^2(x+5)=x^3+5x^2\).
Die Potenzregel braucht Summanden der Form \(k\cdot x^r\).
Eine Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten, ein Bruch mit \(x\) im Nenner eine mit negativem.
A5
Blitzrechnung
AFB II\(F\) ist die Stammfunktion von \(f(x)=6x^2-4x+1\) mit \(F(0)=2\). Berechne \(F(2)\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(F(x)=2x^3-2x^2+x+C\), aus \(F(0)=C=2\) folgt \(F(x)=2x^3-2x^2+x+2\). \(F(2)=16-8+2+2=12\). Häufiger Fehler: \(+1\) wird zu \(+1\) statt zu \(+x\) — dann ergibt sich \(11\).
Integriere summandenweise: \(6x^2\to2x^3\), \(-4x\to-2x^2\), \(1\to x\).
Die Bedingung \(F(0)=2\) legt die Konstante fest: \(C=2\).
A6
Schritt für Schritt zu 6 : x⁴
AFB IIEine Stammfunktion von \(f(x)=\dfrac{6}{x^4}\) wird bestimmt. Ordne die Schritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Umschreiben: f(x) = 6 · x⁻⁴
2Exponent um 1 erhöhen: −4 + 1 = −3
3Durch den neuen Exponenten teilen: 6 : (−3) = −2
4Zurückschreiben: F(x) = −2 : x³
5Probe: F′(x) = 6x⁻⁴ = f(x)
Am häufigsten verrutscht das Umschreiben: Wer mit \(\tfrac6{x^4}\) direkt „hochintegriert“, erhöht den Exponenten im Nenner und landet bei \(\tfrac{6}{5x^5}\) oder Ähnlichem. Erst die Potenzschreibweise macht die Regel anwendbar.
Womit fängt man an, wenn \(x\) im Nenner steht?
Die Probe steht immer am Ende — sie kontrolliert das Ergebnis.
A7
Rechenkette: Stammfunktion mit Tiefpunkt
MixAFB IIGesucht ist die Stammfunktion \(F\) von \(f(x)=3x^2-12\) mit \(F(0)=5\). Anschließend wird \(F\) wie in Kapitel 1 untersucht. Ermittle:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Koeffizient von \(x\) in \(F(x)\)
- Konstante \(C\)
- Stelle des Tiefpunkts von \(F\)
- \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts
\(F(x)=x^3-12x+5\). Extremstellen von \(F\) sind die Nullstellen von \(F'=f\): \(3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm2\). \(F''(2)=12>0\), also Tiefpunkt \((2\,|\,-11)\). Das Schöne: Die Ableitung von \(F\) muss man gar nicht bilden — sie ist \(f\) selbst.
\(-12\) ist eine Konstante; ihre Stammfunktion ist \(-12x\).
Extremstellen von \(F\): \(F'(x)=f(x)=0\). Welche der beiden Lösungen ist der Tiefpunkt?
A8
Gebrochene und negative Exponenten
AFB IIIVerbinde jede Funktion \(f\) mit ihrer Stammfunktion \(F\).
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
\(\sqrt[3]x=x^{\frac13}\to\tfrac34x^{\frac43}=\tfrac34x\sqrt[3]x\). \(\tfrac3{\sqrt x}=3x^{-\frac12}\to3\cdot2x^{\frac12}\). \(10x\sqrt x=10x^{\frac32}\to10\cdot\tfrac25x^{\frac52}=4x^2\sqrt x\). Der Trick: \(x^{\frac52}=x^2\cdot x^{\frac12}\).
Schreibe alles als Potenz: \(x\sqrt x=x^{1{,}5}\), \(\sqrt[3]x=x^{\frac13}\), \(\tfrac1{\sqrt x}=x^{-0{,}5}\).
Durch \(\tfrac12\) teilen heißt mal \(2\), durch \(\tfrac52\) teilen heißt mal \(\tfrac25\).
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIISechs Zeilen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der Fehler in Zeile 6 ist in Klassenarbeiten der häufigste: Bei negativen Exponenten wird „um 1 erhöhen“ mit „betragsmäßig größer machen“ verwechselt. Die Probe deckt ihn sofort auf: \(\left(-\tfrac14x^{-4}\right)'=x^{-5}\).
Mach bei jeder Zeile die Probe: \(F\) ableiten, mit \(f\) vergleichen.
Bei Zeile 4 zuerst die Klammer auflösen: Die Hochzahl gilt für \(2\) und für \(x\).
A10
Trickaufgabe: Bruch zuerst zerlegen
TrickAFB IIIGegeben ist \(f(x)=\dfrac{2x^4+x}{x^3}\) für \(x\ne0\). Gib die Stammfunktion \(F\) mit \(F(1)=0\) an.
Gib den Term ein. Schreibweise:
3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.Zerlegen: \(\dfrac{2x^4}{x^3}+\dfrac{x}{x^3}=2x+x^{-2}\). Dann \(F(x)=x^2-x^{-1}+C\), und \(F(1)=1-1+C=0\) liefert \(C=0\): \(F(x)=x^2-\tfrac1x\). Die Falle: Zähler und Nenner getrennt integrieren — \(\tfrac{\frac25x^5+\frac12x^2}{\frac14x^4}\) besteht die Probe nicht.
Teile jeden Summanden des Zählers einzeln durch \(x^3\).
\(f(x)=2x+x^{-2}\). Nach dem Integrieren \(C\) aus \(F(1)=0\) bestimmen.