Regentonne im Schulgarten
AFB I–IIEine Regentonne im Schulgarten enthält vor einem Regenschauer \(120\,\mathrm L\) Wasser. Während des achtminütigen Schauers läuft Wasser über das Fallrohr zu; die Zulaufrate wird beschrieben durch
\(r(t)=-0{,}75\,t^2+6\,t\) mit \(t\) in Minuten nach Beginn des Schauers, \(0\le t\le8\), und \(r(t)\) in \(\tfrac{\mathrm L}{\mathrm{min}}\).
Die Tonne fasst \(200\,\mathrm L\) und hat keinen Abfluss.
Alle Teilaufgaben sind ohne Hilfsmittel zu bearbeiten. Insgesamt 12 BE.
- Geben Sie eine Stammfunktion von \(r\) an.2 BE
- Stellen Sie eine Funktion \(V\) auf, die die Wassermenge in der Tonne \(t\) Minuten nach Beginn des Schauers beschreibt.3 BE
- Berechnen Sie, wie viel Wasser nach dem Schauer in der Tonne ist und wie viel während des Schauers hineingelaufen ist.3 BE
- Zeigen Sie, dass nach \(4\) Minuten genau die Hälfte des Regenwassers in die Tonne gelaufen ist, und erklären Sie das Ergebnis anhand von Material 1.4 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(R(t)=-0{,}75\cdot\tfrac13t^3+6\cdot\tfrac12t^2=-0{,}25\,t^3+3\,t^2\) (jede Funktion \(R(t)+C\) ist ebenfalls richtig).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(V(t)=-0{,}25\,t^3+3\,t^2+C\) mit \(V(0)=C=120\).
\(V(t)=-0{,}25\,t^3+3\,t^2+120\) (\(V\) in Litern, \(0\le t\le8\)). Probe: \(V'(t)=-0{,}75\,t^2+6\,t=r(t)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(V(8)=-0{,}25\cdot512+3\cdot64+120=-128+192+120=184\).
Nach dem Schauer sind \(184\,\mathrm L\) in der Tonne; hineingelaufen sind \(184-120=64\,\mathrm L\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(V(4)-V(0)=-0{,}25\cdot64+3\cdot16=-16+48=32=\tfrac12\cdot64\). ✓
Der Graph von \(r\) ist eine Parabel mit Scheitel bei \(t=4\) und damit symmetrisch zur Geraden \(t=4\). Die Flächen unter dem Graphen von \(0\) bis \(4\) und von \(4\) bis \(8\) sind deshalb gleich groß — in beiden Hälften des Schauers läuft gleich viel Wasser zu.
Ölfilm auf einem See
AFB II–IIINach einem Unfall auf einem See breitet sich ein Ölfilm aus; gleichzeitig saugt ein Spezialboot Öl ab. Die Netto-Änderungsrate der Ölfläche wird ab einer Minute nach dem Unfall beschrieben durch
\(n(t)=\dfrac{6}{\sqrt t}-0{,}5\) mit \(t\) in Minuten nach dem Unfall, \(t\ge1\), und \(n(t)\) in \(\tfrac{\mathrm m^2}{\mathrm{min}}\).
Eine Minute nach dem Unfall bedeckt der Ölfilm \(20\,\mathrm m^2\).
Teilaufgaben a) bis c) ohne Hilfsmittel; für d) ist der GTR/CAS zugelassen. Insgesamt 16 BE.
- Erläutern Sie die Bedeutung der beiden Summanden von \(n(t)\) im Sachzusammenhang.3 BE
- Leiten Sie mit Potenz-, Summen- und Faktorregel die Funktionsgleichung \(A(t)=12\sqrt t-0{,}5\,t+8{,}5\) her.4 BE
- Untersuchen Sie, wann der Ölfilm am größten ist, und geben Sie seine größte Fläche an.4 BE
- Die Einsatzleitung kündigt an: „Nach zehn Stunden ist der Ölfilm vollständig abgesaugt.“ Beurteilen Sie diese Aussage mithilfe des Modells und gehen Sie auf die Grenzen des Modells ein.5 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\tfrac{6}{\sqrt t}\) ist die Rate, mit der sich der Ölfilm ausbreitet. Sie nimmt mit der Zeit ab, weil \(\sqrt t\) wächst — der Film breitet sich anfangs schnell, später immer langsamer aus (z. B. \(6\,\tfrac{\mathrm m^2}{\mathrm{min}}\) bei \(t=1\), \(1\,\tfrac{\mathrm m^2}{\mathrm{min}}\) bei \(t=36\)).
\(-0{,}5\) beschreibt das Absaugen: Pro Minute wird eine Fläche von \(0{,}5\,\mathrm m^2\) vom Ölfilm entfernt, gleichbleibend über die ganze Zeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(n(t)=6\,t^{-\frac12}-0{,}5\). Stammfunktion: \(6\cdot\tfrac{1}{1/2}\,t^{\frac12}-0{,}5\,t=12\sqrt t-0{,}5\,t\), also \(A(t)=12\sqrt t-0{,}5\,t+C\).
\(A(1)=12-0{,}5+C=20\;\Rightarrow\;C=8{,}5\).
Damit \(A(t)=12\sqrt t-0{,}5\,t+8{,}5\). Probe: \(A'(t)=12\cdot\tfrac1{2\sqrt t}-0{,}5=\tfrac6{\sqrt t}-0{,}5=n(t)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(n(t)=0\;\Leftrightarrow\;\tfrac6{\sqrt t}=0{,}5\;\Leftrightarrow\;\sqrt t=12\;\Leftrightarrow\;t=144\).
Für \(t<144\) ist \(n(t)>0\) (Fläche wächst), für \(t>144\) ist \(n(t)<0\) (Fläche schrumpft). Also liegt bei \(t=144\) das Maximum.
\(A(144)=12\cdot12-0{,}5\cdot144+8{,}5=144-72+8{,}5=80{,}5\).
Nach \(144\,\mathrm{min}=2\,\mathrm h\;24\,\mathrm{min}\) ist der Ölfilm mit \(80{,}5\,\mathrm m^2\) am größten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(A(600)=12\sqrt{600}-300+8{,}5\approx293{,}9-300+8{,}5\approx2{,}4\): Nach zehn Stunden ist laut Modell noch etwa \(2{,}4\,\mathrm m^2\) Ölfilm vorhanden.
GTR: \(A(t)=0\) für \(t\approx609{,}5\,\mathrm{min}\), also nach gut \(10\) Stunden und \(10\) Minuten.
Urteil: Die Aussage ist knapp zu optimistisch, liegt aber in der richtigen Größenordnung — „nach etwa zehn Stunden“ wäre vertretbar. Grenzen: Das Modell nimmt eine konstante Absaugleistung auch bei sehr kleiner Restfläche an und gilt erst ab \(t=1\); dünne Restfilme lassen sich in der Praxis oft schlechter absaugen, Wind und Strömung sind nicht berücksichtigt. Die Ankündigung sollte deshalb vorsichtiger formuliert werden.