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Potenz-, Summen-, Faktorregel

Eine einzige Regel, rückwärts gelesen, reicht für fast jede ganzrationale Funktion — sogar für Wurzeln und Brüche wie 1/x².

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Die Potenzregel

Die Ableitungsregel \((x^n)'=n\,x^{n-1}\) wird rückwärts gelesen: Der Exponent steigt um \(1\), geteilt wird durch den neuen Exponenten.

Herleitung:

\(\big(x^{r+1}\big)'=(r+1)\cdot x^{r}\)
Potenzregel
Ableiten senkt den Exponenten von \(r+1\) auf \(r\) und liefert den Vorfaktor \(r+1\).
\(\Big(\tfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\Big)'=\tfrac{1}{r+1}\cdot(r+1)\cdot x^{r}\)
Faktorregel
Mit \(\tfrac{1}{r+1}\) multiplizieren, damit der Vorfaktor verschwindet — das geht nur für \(r\ne-1\).
\(\Big(\tfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\Big)'=x^{r}\)
Ergebnis
\(\tfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\) ist eine Stammfunktion von \(x^r\).
  • Ganzzahlig:\(x^3\to\tfrac14x^4\), \(\;x\to\tfrac12x^2\), \(\;1=x^0\to x\).
  • Negativ:\(\tfrac1{x^2}=x^{-2}\to\tfrac{1}{-1}\,x^{-1}=-\tfrac1x\) für \(x\ne0\).
  • Gebrochen:\(\sqrt x=x^{\frac12}\to\tfrac{1}{3/2}\,x^{\frac32}=\tfrac23\,x^{\frac32}\) für \(x\ge0\).
  • Sonderfall:\(r=-1\), also \(\tfrac1x\): Der Faktor \(\tfrac{1}{r+1}=\tfrac10\) existiert nicht — hier hilft die Regel nicht.
Merke

Potenzregel: \(f(x)=x^r\ \Rightarrow\ F(x)=\dfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\quad(r\ne-1)\)

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Summen- und Faktorregel

Ableiten geht summandenweise und lässt Faktoren stehen — rückwärts gilt dasselbe.

  • Summenregel:\(f=g+h\ \Rightarrow\ F=G+H\) — jeden Summanden einzeln integrieren.
  • Faktorregel:\(f=k\cdot g\ \Rightarrow\ F=k\cdot G\) — der Faktor bleibt stehen.
  • Konstante:\(f(x)=k\ \Rightarrow\ F(x)=k\,x\).
  • Probe:\((G+H)'=g+h\) und \((k\cdot G)'=k\cdot g\) — genau die Ableitungsregeln.

Tippe zu jedem Summanden von \(f\) einen Baustein an — er rastet in \(F\) ein und wird sofort abgeleitet. Ein Tipp auf einen eingerasteten Baustein nimmt ihn wieder heraus.

Stammfunktion aus Bausteinen

Bausteine für \(F\)

Halte fest: Jeder Summand wird für sich integriert — Exponent um \(1\) erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen, Faktor stehen lassen; die Konstante \(k\) wird zu \(k\,x\).

Merke

Summe und Faktor: \(f=k\cdot g+h\ \Rightarrow\ F=k\cdot G+H\)

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Allgemeine Hinweise

Durch den neuen Exponenten

Zu \(x^5\) gehört \(\tfrac16x^6\), nicht \(\tfrac15x^6\) — erst den Exponenten erhöhen, dann durch ihn teilen.

Brüche und Wurzeln umschreiben

\(\tfrac{5}{x^4}\) erst als \(5x^{-4}\) schreiben: \(\tfrac{5}{-3}\,x^{-3}=-\tfrac{5}{3x^3}\). Den Nenner „hochzuintegrieren“ geht schief.

Produkte erst ausmultiplizieren

Für \(x\,(x+2)\) gibt es keine „Produktregel rückwärts“. Ausmultipliziert \(x^2+2x\) reicht die Potenzregel: \(\tfrac13x^3+x^2\).

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