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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Welche passen zu eˣ − sin x?
AFB IGeben Sie alle Stammfunktionen von \(f(x)=e^x-\sin x\) an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Probe durch Ableiten: \((\cos x)'=-\sin x\) — deshalb gehört zu \(-\sin x\) in \(F\) ein \(+\cos x\). Konstanten wie \(5\) oder \(-\pi\) fallen beim Ableiten weg. \(e^{x+1}=e\cdot e^x\) hat die Ableitung \(e\cdot e^x\ne e^x\), und \(e^x-\cos x\) liefert abgeleitet \(e^x+\sin x\).
Ansatz: Leite jede Karte ab — sie ist genau dann richtig, wenn \(e^x-\sin x\) herauskommt.
Weiter: \((\cos x)'=-\sin x\), \((\sin x)'=\cos x\) und \(e^{x+1}=e^1\cdot e^x\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IÜberprüfen Sie fünf Aussagen über Stammfunktionen — die Probe durch Ableiten entscheidet.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Jede Aussage lässt sich mit einer Zeile Ableiten entscheiden — die Probe ist beim Integrieren das wichtigste Werkzeug.
Ansatz: Leite die angebotene Stammfunktion ab und vergleiche mit der Funktion.
Weiter: Bei \(e^{ax}\) liefert die Kettenregel den Faktor \(a\) — beim Integrieren muss deshalb \(\tfrac1a\) davor.
A3
Lückentext: die 1/a-Regel
AFB INennen Sie die fehlenden Fachwörter — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Bei \(f(x)=\cos(3x)\) ist \(3x\) die Funktion. Beim Ableiten von \(\sin(3x)\) liefert die den Faktor \(3\). Beim Integrieren gleicht man ihn mit dem \(\tfrac13\) aus: \(F(x)=\tfrac13\sin(3x)\). Das klappt nur, wenn die innere Funktion ist, und Werte von \(\sin\) und \(\cos\) berechnet man dabei im .
„Produktregel“ bleibt übrig: \(\sin(3x)\) ist eine Verkettung, kein Produkt — die 3 steht im Argument, nicht als Faktor davor.
Ansatz: Welche Ableitungsregel ist für verkettete Funktionen wie \(\sin(3x)\) zuständig?
Weiter: Der Kehrwert von 3 ist \(\tfrac13\). „Linear“ heißt: von der Form \(ax+b\).
A4
Funktion und Stammfunktion verbinden
AFB IIOrdnen Sie jeder Funktion ihre Stammfunktion zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Immer derselbe Handgriff: Stammfunktion der äußeren Funktion, dann mal \(\tfrac1a\). Bei \(\tfrac x2\) ist \(a=\tfrac12\), der Kehrwert also 2; bei \(1-x\) ist \(a=-1\). Bei \(4\cos(4x)\) und \(6e^{3x+2}\) hebt sich der Vorfaktor ganz bzw. teilweise gegen \(\tfrac1a\) weg.
Ansatz: Lies bei jeder Funktion die innere Funktion \(ax+b\) ab und notiere \(a\).
Weiter: Bei \(\sin\big(\tfrac x2\big)\): \(a=\tfrac12\), also \(-\tfrac{1}{1/2}\cos\big(\tfrac x2\big)=-2\cos\big(\tfrac x2\big)\).
A5
Direkt, umformen oder gar nicht?
AFB IIOrdnen Sie jede Funktion danach ein, ob sich eine Stammfunktion mit den Regeln aus 2.2 finden lässt.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1direkt mit \(\tfrac1a\,G(ax+b)\)
2erst umformen, dann integrieren
3mit diesen Regeln nicht möglich
Umformen mit Potenzgesetzen: \(e^{2x}\cdot e^x=e^{3x}\), \(\tfrac1{e^x}=e^{-x}\), \(\tfrac{e^x+e^{2x}}{e^x}=1+e^x\). Bei \(e^{x^2}\) und \(\sin(x^2)\) ist die innere Funktion nicht linear, bei \(x\cdot\cos x\) liegt ein Produkt vor — die \(\tfrac1a\)-Regel greift nicht.
Ansatz: Ist das Argument von \(e\), \(\sin\) oder \(\cos\) von der Form \(ax+b\)? Stehen ein Produkt oder ein Bruch da, versuche ein Potenzgesetz.
Weiter: \(e^m\cdot e^n=e^{m+n}\), \(\tfrac1{e^n}=e^{-n}\). Ein \(x^2\) im Argument lässt sich nicht wegrechnen.
A6
Stammfunktion durch einen Punkt
AFB IIBestimmen Sie die Stammfunktion \(F\) von \(f(x)=4\cos(2x)-3e^{-x}\), deren Graph durch den Punkt \((0\,|\,3)\) verläuft.
Gib den Term von \(F(x)\) ein. Schreibweise:
sin(2x), e^(-x) oder exp(-x), Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.Summandenweise: \(4\cos(2x)\to4\cdot\tfrac12\sin(2x)=2\sin(2x)\) und \(-3e^{-x}\to-3\cdot\tfrac1{-1}e^{-x}=3e^{-x}\). Allgemein \(F(x)=2\sin(2x)+3e^{-x}+C\); aus \(F(0)=0+3+C=3\) folgt \(C=0\). Typischer Fehler: \(-3e^{-x}\) unverändert übernehmen — dann stimmt das Vorzeichen nicht, und scheinbar wäre \(C=6\) nötig.
Ansatz: Integriere Summand für Summand und denke bei \(\cos(2x)\) und \(e^{-x}\) an den Faktor \(\tfrac1a\).
Weiter: Setze \(x=0\) in \(F(x)=2\sin(2x)+\ldots+C\) ein: \(\sin0=0\), \(e^0=1\).
A7
Rechenkette: Potenz trifft Sinus
AFB IIMixGegeben ist \(f(x)=2x+\pi\sin(\pi x)\). Ermitteln Sie Schritt für Schritt:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- \(F_0(1)\) für die Stammfunktion \(F_0\) ohne Konstante
- \(F_0(0)\)
- Konstante \(C\), damit \(F=F_0+C\) durch den Ursprung geht
- \(F(2)\) für diese Stammfunktion \(F\)
\(F_0(x)=x^2-\cos(\pi x)\): Potenzregel aus 2.2.2 für \(2x\), \(\tfrac1a\)-Regel mit \(a=\pi\) für \(\pi\sin(\pi x)\) — der Faktor \(\pi\) hebt sich weg. \(F_0(0)=0-\cos0=-1\), also \(C=1\) und \(F(2)=4-\cos(2\pi)+1=4\). Falle: \(\cos0\) als \(0\) lesen.
Ansatz: \(2x\to x^2\) (Potenzregel) und \(\pi\sin(\pi x)\to\pi\cdot\big(-\tfrac1\pi\cos(\pi x)\big)\).
Weiter: \(\cos\pi=-1\), \(\cos0=\cos(2\pi)=1\). Durch den Ursprung heißt \(F(0)=0\).
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIISechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Bewerten Sie jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten in Klausuren ist Satz 2: mit \(a\) statt mit \(\tfrac1a\) multipliziert — also abgeleitet statt integriert. Satz 4 zeigt die Grenze der Regel: Zu \(e^{x^2}\) gibt es keine Stammfunktion aus bekannten Funktionen.
Ansatz: Leite jede angegebene Stammfunktion ab und vergleiche mit der Funktion.
Weiter: \(\big(-\tfrac14\cos(4x)\big)'=-\tfrac14\cdot(-\sin(4x))\cdot4=\sin(4x)\) — passt das zu \(-\sin(4x)\)?
A9
Trickaufgabe: zwei ungleiche Zwillinge
AFB IIITrick\(F(x)=\sin^2x\) und \(G(x)=-\cos^2x\) sehen verschieden aus. Untersuchen Sie, ob beide Stammfunktionen derselben Funktion \(f\) sind, und geben Sie die Differenz \(F(x)-G(x)\) als Zahl ein.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Mit der Kettenregel (Kapitel 1): \(F'(x)=2\sin x\cos x\) und \(G'(x)=-2\cos x\cdot(-\sin x)=2\sin x\cos x\) — beide sind Stammfunktionen von \(f(x)=2\sin x\cos x\). Nach 2.2.1 unterscheiden sie sich also nur um eine Konstante: \(\sin^2x+\cos^2x=1\) (Pythagoras am Einheitskreis). Wer \(0\) eingibt, verwechselt „gleiche Ableitung“ mit „gleiche Funktion“.
Ansatz: Leite beide Funktionen mit der Kettenregel ab: \(\sin^2x=(\sin x)^2\).
Weiter: Die Differenz ist konstant — setze einen bequemen Wert ein, z. B. \(x=0\): \(F(0)-G(0)\).
A10
Welcher Graph ist F?
AFB IIIGesucht ist die Stammfunktion \(F\) von \(f(x)=-2\sin(2x)\) mit \(F(0)=1\). Alle vier Graphen gehen durch \((0\,|\,1)\). Entscheiden Sie, welcher Graph zu \(F\) gehört.
Klicke die passende Karte an und prüfe dann. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter auswählen.
\(F(x)=\cos(2x)\), Probe: \(-\sin(2x)\cdot2=-2\sin(2x)\). Graph A (\(\cos x\)) hat die Periode \(2\pi\) statt \(\pi\) — die innere Funktion fehlt. Graph B (\(\tfrac12\cos(2x)+\tfrac12\)) hat zusätzlich \(\tfrac1a\) angewendet, seine Ableitung ist nur \(-\sin(2x)\). Graph D (\(2-\cos(2x)\)) steigt rechts von 0, obwohl \(f\) dort negativ ist: Vorzeichenfehler.
Ansatz: Rechts von \(x=0\) ist \(f(x)=-2\sin(2x)\) negativ. Was bedeutet das für den Verlauf von \(F\)?
Weiter: Die Periode von \(\sin(2x)\) ist \(\pi\) — die von \(F\) auch. Und die Steigung von \(F\) bei \(x=\tfrac\pi4\) ist \(f\big(\tfrac\pi4\big)=-2\).