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Abituraufgaben: eˣ, sin x, cos x integrieren

Ebbe und Flut im Sinustakt, ein Pflaster im e-Takt — aus der Änderungsrate wird der Bestand.

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Wasserstand im Tidehafen

AFB I–II

In einem Tidehafen an der Nordsee wird der Wasserstand über dem Hafengrund gemessen. Die momentane Änderungsrate des Wasserstands wird für einen Zeitraum von zwölf Stunden modellhaft beschrieben durch

\(r(t)=\dfrac{\pi}{3}\cos\!\Big(\dfrac{\pi}{6}\,t\Big),\quad 0\le t\le12,\)

mit \(t\) in Stunden nach 6:00 Uhr und \(r(t)\) in Metern pro Stunde. Um 6:00 Uhr beträgt der Wasserstand \(3\,\mathrm m\). Material M1 zeigt den Graphen von \(r\).

M1 Änderungsrate des Wasserstands
24681012−1−0,50,51t in hr(t) in m/hr
Positive Werte: Das Wasser steigt. Negative Werte: Das Wasser fällt.
  1. ohne HilfsmittelWeisen Sie nach, dass \(H(t)=2\sin\big(\tfrac\pi6t\big)\) eine Stammfunktion von \(r\) ist. 2 BE
  2. ohne HilfsmittelBestimmen Sie einen Term für den Wasserstand \(h(t)\) sowie den höchsten und den niedrigsten Wasserstand mit den zugehörigen Uhrzeiten. 5 BE
  3. GTR/CASEin Frachtschiff benötigt einen Wasserstand von mindestens \(2\,\mathrm m\). Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem es den Hafen nicht anlaufen kann. 4 BE
  4. Deuten Sie das Vorzeichen von \(r(t)\) im Intervall \(3<t<9\) sowie den Wert \(r(6)\) im Sachzusammenhang. 2 BE

Insgesamt 13 BE.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Leite \(H\) mit der Kettenregel ab: innere Funktion \(\tfrac\pi6t\), innere Ableitung \(\tfrac\pi6\).„Nachweisen“: Es genügt, \(H'(t)=r(t)\) vorzurechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Wasserstand ist der Bestand zur Änderungsrate \(r\): \(h(t)=H(t)+C\). Bestimme \(C\) aus \(h(0)=3\). Wo nimmt \(\sin\) die Werte \(1\) und \(-1\) an?
Hinweis zu Aufgabe c)
Löse \(h(t)=2\), also \(\sin\big(\tfrac\pi6t\big)=-\tfrac12\). GTR im Modus RAD: Y1 3+2sin(πX/6), Y2 2, Schnittpunkte — Casio fx-CG50: SHIFT F5 (G-Solv), F5 (ISCT).
Hinweis zu Aufgabe d)
Was bedeutet eine negative Änderungsrate für den Wasserstand? An welcher Stelle ist \(\lvert r(t)\rvert\) am größten?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(H'(t)=2\cos\big(\tfrac\pi6t\big)\cdot\tfrac\pi6=\tfrac\pi3\cos\big(\tfrac\pi6t\big)=r(t)\). Also ist \(H\) eine Stammfunktion von \(r\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Alle Stammfunktionen haben die Form \(H(t)+C\). Aus \(h(0)=2\sin0+C=C=3\) folgt \(h(t)=3+2\sin\big(\tfrac\pi6t\big)\).

Maximum: \(\sin\big(\tfrac\pi6t\big)=1\) für \(\tfrac\pi6t=\tfrac\pi2\), also \(t=3\): Hochwasser \(h(3)=5\,\mathrm m\) um 9:00 Uhr. Minimum: \(\sin\big(\tfrac\pi6t\big)=-1\) für \(\tfrac\pi6t=\tfrac{3\pi}2\), also \(t=9\): Niedrigwasser \(h(9)=1\,\mathrm m\) um 15:00 Uhr.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(3+2\sin\big(\tfrac\pi6t\big)<2\Leftrightarrow\sin\big(\tfrac\pi6t\big)<-\tfrac12\). Schnittstellen mit \(y=2\) in \([0;12]\): \(\tfrac\pi6t=\tfrac{7\pi}6\Rightarrow t_1=7\) und \(\tfrac\pi6t=\tfrac{11\pi}6\Rightarrow t_2=11\) (GTR: \(t_1=7\), \(t_2=11\)).

Dazwischen liegt der Wasserstand unter \(2\,\mathrm m\) (z. B. \(h(9)=1\,\mathrm m\)). Das Schiff kann von 13:00 Uhr bis 17:00 Uhr nicht einlaufen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für \(3<t<9\) ist \(r(t)<0\): Der Wasserstand sinkt — zwischen 9:00 und 15:00 Uhr läuft das Wasser ab (Ebbe).

\(r(6)=\tfrac\pi3\cos\pi=-\tfrac\pi3\approx-1{,}05\): Um 12:00 Uhr fällt das Wasser am schnellsten, um gut einen Meter pro Stunde.

2

Wirkstoffpflaster

AFB II–III

Ein Schmerzpflaster gibt nach dem Aufkleben einen Wirkstoff an die Haut ab. Die Abgaberate wird beschrieben durch

\(r(t)=12\,e^{-0{,}2t},\quad t\ge0,\)

mit \(t\) in Stunden seit dem Aufkleben und \(r(t)\) in Milligramm pro Stunde (Material M1). Laut Packungsbeilage enthält ein Pflaster \(70\,\mathrm{mg}\) Wirkstoff; es soll nach 24 Stunden gewechselt werden.

M1 Abgaberate des Pflasters
481216202424681012t in hr(t) in mg/hr
Die Rate sinkt, weil das Konzentrationsgefälle zwischen Pflaster und Haut abnimmt.
  1. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von \(r\) im Sachzusammenhang. 2 BE
  2. ohne HilfsmittelZeigen Sie, dass \(W(t)=60-60\,e^{-0{,}2t}\) die bis zum Zeitpunkt \(t\) insgesamt abgegebene Wirkstoffmenge in mg beschreibt. 4 BE
  3. Eine Patientin sagt: „Nach 24 Stunden ist das Pflaster leer — deshalb muss es gewechselt werden.“ Beurteilen Sie diese Aussage. 4 BE
  4. GTR/CASFür Kinder soll ein Pflaster derselben Bauart mit \(r_k(t)=k\,e^{-0{,}2t}\) entwickelt werden, das in den ersten 8 Stunden genau \(45\,\mathrm{mg}\) abgibt. Berechnen Sie \(k\). 3 BE

Insgesamt 13 BE.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Anfangswert, Monotonie und langfristiges Verhalten. Lies zwei, drei Werte aus M1 ab.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zu zeigen sind zwei Dinge: \(W'(t)=r(t)\) und \(W(0)=0\).„Zeigen“ verlangt die vollständige Rechnung, nicht nur eine Probe an einer Stelle.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterien: Wie viel Wirkstoff ist nach 24 h abgegeben? Wie viel kann das Pflaster überhaupt abgeben (\(t\to\infty\))? Warum wird trotzdem gewechselt?
Hinweis zu Aufgabe d)
Die bis zum Zeitpunkt \(t\) abgegebene Menge ist \(W_k(t)=5k\,\big(1-e^{-0{,}2t}\big)\) — wie in b) mit \(k\) statt 12. Setze \(W_k(8)=45\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Rate beginnt bei \(r(0)=12\,\mathrm{mg/h}\) und nimmt streng monoton ab, weil \(e^{-0{,}2t}\) fällt: \(r(5)\approx4{,}4\), \(r(10)\approx1{,}6\,\mathrm{mg/h}\). Nach gut 3,5 Stunden hat sie sich halbiert. Für große \(t\) nähert sie sich 0, ohne sie zu erreichen: Das Pflaster gibt anfangs viel, später immer weniger Wirkstoff ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(W'(t)=-60\cdot e^{-0{,}2t}\cdot(-0{,}2)=12\,e^{-0{,}2t}=r(t)\), also ist \(W\) eine Stammfunktion von \(r\). \(W(0)=60-60e^0=0\): Zu Beginn ist noch nichts abgegeben.

Damit ist \(W\) der aus der Rate rekonstruierte Bestand der abgegebenen Menge mit Anfangsbestand 0. (Alternativ hergeleitet: \(12\cdot\tfrac1{-0{,}2}e^{-0{,}2t}=-60e^{-0{,}2t}+C\) mit \(C=60\).)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(W(24)=60-60e^{-4{,}8}\approx59{,}5\,\mathrm{mg}\); im Pflaster bleiben etwa \(70-59{,}5=10{,}5\,\mathrm{mg}\). Auch für \(t\to\infty\) gilt nur \(W(t)\to60\,\mathrm{mg}\) — das Pflaster wird nie leer, mindestens \(10\,\mathrm{mg}\) bleiben zurück. Die Aussage ist falsch.

Gewechselt wird, weil die Rate nach 24 h nur noch \(r(24)=12e^{-4{,}8}\approx0{,}1\,\mathrm{mg/h}\) beträgt — zu wenig für eine Wirkung. Der Restwirkstoff ist nötig, damit überhaupt ein Konzentrationsgefälle besteht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(W_k(8)=5k\,\big(1-e^{-1{,}6}\big)=45\Rightarrow k=\dfrac{9}{1-e^{-1{,}6}}\approx11{,}28\).

Das Kinderpflaster muss mit einer Anfangsrate von etwa \(11{,}3\,\mathrm{mg/h}\) starten.